文档介绍：第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,.
例1 m是什么整数时,方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0
有两个不相等的正整数根.
解法1 首先,m2-1≠0,m≠±=36(m-3)2>0,所以m≠
由于x1,x2是正整数,所以
m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12,
解得m==6,x2=4.
解法2 首先,m2-1≠0,m≠±,x2,则由根与系数的关系知
所以m2-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即
m2=3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73,
只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5.
经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根.
说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法.
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值.
分析“至少有一个整数根”应分两种情况:一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,,把它的两个根解出来.
解因为a≠0,所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5.
例3 设m是不为零的整数,关于x的二次方程
mx2-(m-1)x+1=0
有有理根,求m的值.
解一个整系数的一元二次方程有有理根,
Δ=(m-1)2-4m=n2,
其中n是非负整数,于是
m2-6m+1=n2,
所以(m-3)2-n2=8,
(m-3+n)(m-3-n)=8.
由于m-3+n≥m-3-n,并且
(m-3+n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数,所以m-3+n与m-3-n同奇偶,所以
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根,那么它的判别式一定是完全平方数,然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解,且a是整数,求a的值.
解当a=0时,原方程变成-6x-2=0,无整数解.
当a≠0时,方程是一元二次方程,它至少有一个整数根,说明判别式
Δ=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a)
为完全平方数,从而9--4a=n2,则n是正奇数,
要使x1为整数,而n为正奇数,只能n=1,从而a=,即n-3|4,n可取1,5,7,从而a=2,-4,-10.