文档介绍：第9章功平衡法和上限法及其应用
§ 功平衡法
§ 极值原理及上限法
§ 速度间断面及其速度特性
§ Johnson上限模式及应用
§ Aviztur上限模式及应用
§ 功平衡法
功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原
理来计算变形力的一种近似方法,又称变形功
法。
功平衡原理是指:塑性变形过程外力沿其位
移方向上所作的外部功(WP)等于物体塑性变形
所消耗的应变功(Wd)和接触摩擦功(Wf)之
和,即 WP = Wd + Wf
对于变形过程的某一瞬时,上式可写成功增量形
式 dWP = dWd + dWf
极值原理包括上限定理和下限定理,它们都是根据虚功原理和最大塑性功耗原理得出的,但各自分析问题的出发点不同。
上限定理是按运动学许可速度场(主要满足速度边界条件和体积不变条件)来确定变形载荷的近似解,这一变形载荷它总是大于(理想情况下才等于)真实载荷,即高估的近似值,故称上限解;
下限定理仅按静力学许可应力场(主要满足力的边界条件和静力平衡条件)来确定变形载荷的近似解,它总是小于(理想情况下才等于)真实载荷,即高低的近似解,故称下限解。
§ 极值原理及上限法
稳定平稳状态的变形体中,当给予变形体一几何约束所许可的微小位移(因为该位移只是几何约束所许可,实际上并未发生,故称虚位移)时,则外力在此虚位移上所作的功(称虚功),必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚应变功,其表达式为:

实际应用常用功率形式表达
虚功原理
虚功原理
式中,左边为外力所作虚功或虚功率,右边
第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗,第二
项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消
耗等。( 为所在界面上的相对滑动速度)。
第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗。虚功
原理对于弹性变形、弹塑性变形或塑性变形力
学问题都是适用的。
到目前为止,上限法中虚拟的运动学许可速度场模式大体有三种模式:
(1)Johnson模式,通常称为简化滑移线场的刚性三角形上限模式,主要适用于平面应变问题。
(2)Avitzur模式,通常称为连续速度场的上限模式,它既可适用平面应变问题、轴对称问题,也可用于某些三维问题,用途比较广泛。
(3)上限单元技术(UBET),目前比较实用的是圆柱坐标系的圆环单元技术。它可用于解轴对称问题,以及某些非对称轴的三维问题。
具体实例在硕士阶段将详细分析。
虚拟的运动学许可速度场模式
§ 速度间断面及其速度特性
(1)
(2)
A
v2
v1
x
x
A
B
C
D
φ
H
图9-4 速度间断面上的速度间断
a)物理平面 b)速度图
§ Johnson上限模式及应用
基本思路是设想塑性变形区由若干个刚性三角形构成,塑性变形时完全依靠三角形场间的相对滑动产生,变形过程中每一个刚性块是一个均匀速度场,块内不发生塑性变形,于是块内的应变速度。因此,式(9-6)的能量基本方程中,若不计附加外力及其他功率消耗的话,其塑性变形功率消耗部分也为零,则上限功率表达式变为:
Johnson上限模式求解的基本步骤
根据变形的具体情况,或参照该问题的滑移线场,确定变形区的几何位置与形状,再根据金属流动的大体趋势,将变形区划分为若干个刚性三角形块;
根据变形区划分刚性三角形块情况,以及速度边界条件,绘制速端图;
Johnson上限模式求解的基本步骤
,计算各刚性三角形边长及速端图计算各刚性块之间的速度间断量,然后计算其剪切功率消耗;
,一般划分的刚性三角形块时,几何形状上包含若干个待定几何参数,所以须对待定参数求其极值,确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。