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第三章 微分中值定理与导数的应用
这一章提供了多种各样的措施来研究函数。这其中
又提供了两种求极限的措施---洛必达法则与泰勒式；另
外运用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式
又可处理一大类不等式及等式的证明，结合上面持续函
数的性质,又可讨论方程根的分布。
函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质—
变化率，它是函数在该点的一种局部性质。有时候，我们
要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要理解函
数在其定义域上的整体性质。而函数的局部性质与整体性
质是通过中值定理体现的。这些中值定理是微分学的基
础，它联络着导数的许多应用。
第一节 微分中值定理
一. 罗尔(Rolle)定理
首先，我们看图,其中连
续曲线弧AB是函数y=f(x)， (x∈[a,b])的图形。此图形
的两个端点的纵坐标相等，
即f(a)=f(b)，且除了端点外
到处有不垂直于x轴的切
线。
x
可发目前曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水
，那么有 = 0。我
f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0))，那么 =0.
们用数学语言来描述这个状况,先简介费马定理。
引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有
定义并且在x0处可导, 假如对任意的x∈U(x0)，有
当△x < 0时
b
x
y
o
ξ
a
A
B
C
证明: 设x∈U(x0)时, f(x)≤f(x0) [对f(x)≥f(x0)可以同样证明]
对于x0+△x ∈U(x0),有
f(x0+△x )—f(x0) ≤0,
当△x > 0时
根据函数f(x)在x0点可导的条件,再由极限的保号性，便得到
= 0 证明完毕。
一般称导数为0的点为函数的驻点，
(或称为稳定点,临界点)
因此
罗尔定理
设函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上持续
(2)在开区间(a,b)内可导，
(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)，
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点的导数
等于0, 即有 (a<ξ<b) (1)
证明: 由于函数f(x)在闭区间[a,b]上持续,那么它在该区
间上必然存在最大值M和最小值m,下面我们分两种状况来证明定理1
a
x
y
f(x)=k
b
o
即f(x)在[a,b]上是常数;
因此在(a,b)内的任意一点C有f’(C)=0
(1) 设M=m 由
懂得在(a,b)内获得M或m值的点ξ,有
x
y
f(x)=k
a
b
o
M
m
ξ1
ξ2
(2)设M≠m,必有m<M,由于f(a)=f(b),因此在区间的两
端,函数f(x)不也许同步取到最大值和最小值,M和
m中至少有一种是在(a,b)内达到, 由费马定理我们