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若函数
在闭区域 D 上
有持续的一阶偏导数, 则有
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
公式(1)称为格林公式.
复 习
注意定理使用的条件.
有向性；
持续性；
封闭性.
运用格林公式计算
L闭 合
L非 闭
y
x
o
（一）曲线积分与途径无关的定义
即只与起点和终点有关.
则称曲线积分
与途径无关.
否则与途径有关.
G
显然
任意的闭曲线
如果在区域G内对任意的 有
在G内
设 D 是单连通闭区域. 若函数
在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
下四个条件等价:
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii)
是 D 内某一函数
的全微分,
即在 D 内有
(iv) 在 D 内处处成立
证 (i)
(ii) 如图 21-19, 设
与
为联结点
A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得
所以
(iii)
(iv) 设存在函数
使得
因此
于是由
一点处都有
以及 P, Q 具有一阶持续偏导数, 便可懂得在 D 内每
解：
例 5.
计算
为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线
其中L
由于
则
在 平面上成立.
选择如图所示的途径
选择新途径应注意：
（3）一般选与坐标轴平行的新途径.
（1）新途径的起点与终点不变,
（2）
解：
例6.
选择如图所示的途径
设曲线积分
与途径无关，
具有持续的导数，
由已知知
即
由
知C=0,
则
故原式=