文档介绍：第七章弯曲变形
授课学时:4学时
主要内容:
推导;积分法的求解过程;边界条件的建立;光滑连续条件的确定;叠加法。
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挠曲线:当梁在面内发生弯曲时,梁的轴线由直线变为面内的一条光滑连续曲线,称为梁的挠曲线。
挠度:横截面的形心在垂直于梁轴(轴)方向的线位移,称为横截面的挠度,并用符号表示。
转角:横截面的角位移,称为截面的转角,用符号表示。从图中可以看到,截面的转角等于挠曲线以点的切线与轴的夹角。
综上所述,求梁的任一截面的挠度和转角,关键在于确定梁的挠曲线方程
梁轴的曲率半径与弯矩的关系为
将微分弧段放大,有如下关系:
, 。由于挠度很小,,上式可以写成
考虑到弯矩的符号与一致,上式写成
将代入上式得出
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对两侧积分,可得梁的转角方程为
再积分一次,即可得梁的挠曲线方程
式中和为积分常数,它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。
—边界条件和光滑连续性
固定端,挠度和转角都等于零;铰支座上挠度等于零。弯曲变形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上,有唯一确定的挠度和转角。
L
例:所示简支梁受到集中力作用,讨论它的弯曲变形。
解:
①求反力并列梁的弯矩方程
②建立坐标系,分两段列出梁的弯矩方程为:
段
段
③对挠曲线近似微分方程积分,将和两段的挠曲线近似微分方程及积分结果,列表如下。
段
段
确定积分常数积分常数、和、,需要连续条件和边界条件来确定。即挠曲线在截面的连续条件为
当时,
即:
由上两式解得
此外,梁在、两端的边界条件为
时,
时,
即:
解得
梁和段的转角方程和挠曲线方程列于下表:
AC段
CB段
④求梁的最大挠度和转角
在梁的左端截面的转角为
在梁右端截面的转角为
当时,可以断定为最大转角。
为了确定挠度为极值的截面,先确定截面的转角
若,则转角。段挠曲线为光滑连续曲线,而,当转角从截面到截面连续地由负值变为正值时,段内必有一截面转角为零。为此,令,即
解得
的转角为零,亦即挠度最大的截面位置。由段的挠曲线方程可求得梁的最大挠度为
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当梁上有几个载荷共同作用时,可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形,然后进行叠加,即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。
应用叠加法求梁的变形时,若已知梁在简单载荷作用时的变形,是很方便的。
例1 起重机大梁的自重是集度为的均布载荷,吊重为作用于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。
解:
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