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本章内容概要：
§ 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量
给出该亥姆霍兹方程分离变量的解
§ § (缔合)勒让德函数、球函数的性质
母函数、递推公式、正交归一性关系、
前几阶的勒让德多项式
■ 球坐标系下分离变量法的应用：见本章6道例题
令： , 代入得:
§ 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量
分离变量得:
: 亥姆霍兹方程
对三维波动方程
为使 t →∞时, T(t) 有限, 取
Tips: k = 0时，取T(t)≡Constant → 位势方程
二. 球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量
1. 径向坐标 r 和角向坐标 的分离变量
令 , 代入Helmholhz方程：
方程两边同步乘以 ，整理得:
= 0
即：
2. 角向坐标 q 和 j 的分离变量
令 , 代入角向方程：
方程两边同步乘以 ，整理得
即：
3. 的本征问题求解
（自然周期条件）
本征值：
本征函数：
或, 本征值：
本征函数：
4. 的本征问题求解
有限值
（自然边界条件）
令 x = cosq，则 dx = - sinq dq
此即 l 阶勒让德方程, 满足 有限的本征解为：
本征值： 本征函数：
① m = 0, 的方程变为：
此时 为常数
即，绕 z 轴对称
② m ≠ 0 时, 令 , 方程变为：
为求方程的解, 考虑勒让德多项式满足的方程：
对 x 求 m 次导：
整理, 得：
比较上式与(*)式，知本征解为：
记 为缔合勒让德函数
由勒让德函数的微分体现式, 得：
注意到 为 l 阶多项式, 使 , 则
从 的微分体现式，也可看出
若先选定 m，则,
若先选定 l ，则,
或,
本征值： 本征函数：
或者：
附注：(缔合)勒让德函数的正交归一关系：
或者：
范数:
范数:
详细证明见下节
5. 总结：角向函数 的本征问题
本征值：
本征函数：
本征值：
或者：
本征函数：
为有限值
(自然周期边界条件)
(有界条件)