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1、不等式
1、不等式的基本性质：
①、对称性： 传递性：_________
②、 ，a+c＞b+c
③、a＞b， ， 那么ac＞bc；
a＞b， ，那么ac＜bc
④、a＞b＞0， 那么，ac＞bd
⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 ）
⑥、 a＞b＞0 那么 （条件 ）
练习：1、判断下列各命题的真假，并阐明理由：
（1）假如a>b，那么ac>bc；
（2）假如a>b，那么ac2>bc2；
（3）假如a>b，那么an>bn(n∈N+)；
（4）假如a>b, c<d，那么a-c>b-d。
2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
（假命题）
（假命题）
（真命题）
（假命题）
解：由于(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)
=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0，
因此(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
例2、 已知a>b>0，c>d>0，求证：
例1、求证：假如a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。
证明：由于a>b>0, c>d>0，
由不等式的基本性质（3）可得ac>bc, bc>bd，
再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。
练习： 假如a>b,c>d，与否一定能得出ac>bd？并阐明理由 。
例3、若a、b、x、y∈R，则 是
成立的（ ）
A. 充足不必要条件 B. 必要不充足条件
C. 充要条件 D. 既不充足也不必要条件
C
例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
（1）若c>a>b>0，则
（2）若a>b, ，则a>0，b<0。
（真命题）
（真命题）
f(3)的取值范围是[-1, 20]
例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。
解：由于bc>a2>0，因此b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
a>0，因此b= 且c>0。
由于(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0，因此b-c≥0.
当b-c>0，即b>c时，b= 得
因此a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
由于a>0,b>0,c>0，因此2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，由于bc>a2，
因此b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，因此a=b，
与前面矛盾，故b≠<c<b.
小结：理解并掌握不等式的六个基本性质
作业：书本P10第3题。求证：
（1）假如a>b, ab>0，那么
（2）假如a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。
选做题：设a≥b,c≥d，
求证：ac+bd≥ (a+b)(c+d)
2、基本不等式
定理1 假如a, b∈R, 那么
a2+b2≥2ab.
当且仅当a=b时等号成立。
探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？
分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。
a
a
b
b
b
A
H
I
D
K
G
B
J
C
F
E
如图把实数a，
b作为线段长度，
以a≥b为例，在
正方形ABCD中，
AB=a；在正方形
CEFG中，EF=b.
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不不小于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。
定理2（基本不等式） 假如a，b>0，那么
当且仅当a=b时，等号成立。
证明：由于 =a+b-2 ≥0，
因此a+b≥ ，
上式当且仅当 ，即a=b时，等号成立。
称为a,b的算术平均
称为a，b的几何平均
两个正数的算术平均不不不小于它们的几何平均。
如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。
C
A
B
D
O