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第一阶梯
[例1]什么叫函数f (x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？
设任意的x1,x2∈[a,b],当x1<x2时，均有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间[a,b]上是增函数。
    设任意的x1，x2∈[a,b],当x1<x2时，均有f(x1)>f(x2)，均有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间
[a,b] 上是减函数。
(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，
这一区间叫做f(x)的单调区间。
 ，这个区间当然是函数定义域的子集。
的定义域A=（－∞，0）∪（0，+∞）,那
么 ，下列说法正确的是 （把正确说法的代号都填上）
  ①f(x)在其定义域A上是增函数
  ②f(x)是单调函数
  ③f(x)在区间（－∞，0）上是增函数
  ④f(x)在区间（0，+∞）上是减函数
  ⑤f(x)的单调增区间有（－∞，0），（0，+∞）
证明：设0<x1<x2≤2，则
由
；
；
∴
在区间（0，2）上是减函数。
[例2] （证明函数的增减性。）根据函数单调性定义证明在区间（0，2]上 是减函数。
由
[例3]怎样鉴别函数的单调性？举例阐明。
目前应当学会判断单调性的三个鉴别法：
1、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。例如，
判别函数 的单调性：
这里的△f是函数变化量f(x2)－f(x1)的记号。函数f(x)的单调性由△f的符号来确定，而△f的符号
来确定， △f的符号由因式x1x­2—4来确定：显然x=2是分界点，当x1，x2∈（0，2）时，x1x2－4<0，从而△f<0， 即f(x2)<f(x1)，因此f(x)在（0，2）上减函数；当x1，x2∈[2，+∞]时，x1x2－4>0，从而
△f>0，即f(x2)>f(x1)， 因此f(x)在[2，+∞]上是增函数。这就是“定义法”，我们根据增减性定义，求
得了：
的单调区间：（0，2）是减区间，[2，+∞]是增区间。
根据定义，先取x2>x1>0，作差
函数
※分类讨
论思想
2、图象法：在直角坐标系中，函数y=f(x)在某一区间上从左到右图象上升，则f(x)在该区间上是增函数；   相反，图象下降，则f(x)是减函数。简言为“升增降减”。
例如求二次函数f(x)=－x2+4x+1的单调性。因此f(x) 的图象是开口向下的抛物线，其最高的横坐标为2，在（－∞，2）上图象上升，在[2，+∞]上图象下降， 因此f(x)的单调增区间是（－∞，2），单调减区间是[2，+∞]。
2
o
x
y
3、复合法：其鉴别法则是增函数的增函数是增函数；增函数的减函数是减函数；减函数的增函数是减函数； 减函数的减函数是增函数。    简言为：
增·增得增 减减得增 ； 增减得减 减增得减
解：先作复合映射
函数u=x2-2x在（－∞，0）上是减函数，且u∈[0，+∞]；而函数
在[0，+∞]上是增函数，因为减函数的增函数是减函数
例如，求函数
的单调性。
在（－∞，0]上是减函数。
所以函数
在[2，+∞]上是增函数。
同理，可得函数
第二阶梯
[例4]根据函数单调性定义，证明函数
【证明】设x2>x1≥2，则
上是增函数。
[例5]根据函数单调性定义，证明函数
【证明】由3－x≥0得x≤3，
∴函数f(x)的定义域是（－∞，3] 设
∵x1<x2≤3，
在定义域上是减函数。
在其定义域（－∞，3）上是减函数。
∴
∴
第三阶梯
[例7]求下列函数的单调区间，并指出增减性（不规定证明）：
； （2）
（1）
复合函数法
图像法
例8：已知函数
上是增函数，求实数a的取值范围。
a≤2
[例9]根据函数单调性定义，证明函数
上是减函数。
[例10]判断函数
的奇偶性。
解：∵函数
的定义域
综上，对任意x∈(-∞,0)U(0,+∞)均有f(-x)=-f(x),因此函数f(x)为奇函数。