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学问点梳理
一元一次方程的有关概念
〔1〕一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0，这样的方程叫做一元一次方程.
等式的根本性质
等式的两边都加上〔或减去〕同一个数或整式，所得的结果仍是等式。用字母表示假设a=b，则a+m=b+m ,a-m=b-m
等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数〔除数不为0〕，所得的结果仍是等式.
a b
用字母表示：假设a=b,则 am=bm,
= (n 不为 0)
n n
解一元一次方程的根本步骤：
变形 具 体 方 法步骤
变 形 根 据 注 意 事 项
去分 方程两边都乘以各个分母的最小公倍
母 数
等式性质 2
不能漏乘不含分母的项；
分数线起到括号作用，去掉分母后，假设分子是多项式，则要加括号
去括 先去小括号，再去 乘法安排律、 1．安排律应满足安排到每一项号 中括号，最终去大括号 去括号法则 2．留意符号，特别是去掉括号
把含有未知数的移 项移到方程的一边，不项 含有未知数的项移到
另一边
等式性质 1
移项要变号；
一般把含有未知数的项移到方 程左边，其余项移到右边
合并
把方程中的同类项
同
分 别 合 并 ， 化 成
合并同类项
合并同类项时，把同类项的系数
类
项
“ ax = b ” 的 形 式
〔 a ¹ 0 〕
法则
相加，字母与字母的指数不变
未知 方程两边同除以数的 未知数的系数 a ，得
系数 b
等式性质 2 分子、分母不能颠倒
化成 x =
“1” a
例 1、解方程 〔1〕y-
y -1 = 2 -
y + 2
2 5
例 2、由两个方程的解一样求方程中子母的值
方程 x = 10 - 4x 的解与方程5x + 2m = 2 的解一样，求m 的值.
例 3 、解方程学问与确定值学问综合题型
解方程： | 2x -1| = 7
3
一元一次方程应用题〔找出等量关系〕 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤
〔1〕审题：弄清题意．〔2〕找出等量关系：找出能够表示此题含义的相等关系．〔3〕设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子， 然后利用已找出的等量关系列出方程．〔4〕解方程：解所列的方程，求出未知数的值．〔5〕检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解， 是否符合实际，检验后写出答案．
1、数字问题
要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是 b，个位数字为 c〔其中 a、b、c
均为整数，且 1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9〕则这个三位数表示为：100a+10b+c。例 1、 假设三个连续的偶数和为 18，求这三个数。
例 2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2 倍，假设把十位与个位上的数对调，那么所得的
两位数比原两位数大 36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后两位数
例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，假设将此数个位与百位挨次对调〔个位变百位〕所得的数比原数的2倍少49，求原数。
分析：然后抓住数字间或数、原数之间的关系找等量关系列方程．
2、日历中的规律：横行相邻两数相差 竖行相邻两数相差 。
例 1、假设今日是星期三，那么一年〔365 天〕以后的今日是星期
例 2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2 个数，则它们的和肯定能被 整除。A 3 B 4 C 5 D 6
例 3、假设某一年的 5 月份中，有 5 个星期五，且它们的日期之和为 80，那么这个月的 4 号是星期几？
3、等积变形问题
常用等量关系为：①外形面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。
例 1、用直径为4cm 的圆钢， 的零件毛坯，，应截圆钢多长？
例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯〔已装满水〕向一个由底面积为125 ´ 125mm2 内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？〔结果保存整数p » 〕
4、 和、差、倍、分问题：
倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来表达。多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、缺乏、剩余……”来表达。
劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化.
例 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人数是其次车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到其次车间？
例2．甲、乙两车间各有工人假设干，假设从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间
剩余人数的6倍；假设从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
配套问题：
例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何安排生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套〔一个螺栓配两个螺母〕
例 2. 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮16 个或小齿轮 10 个， 2 个大
齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
每人每天
16 个
10 个
人数
数量
大齿轮
小齿轮
(85 - x)
x 人
16x
人
10(85 - x)
分析：列表法。
( )
等量关系：小齿轮数量的 2 倍＝大齿轮数量的 3 倍
85 - x
解：设分别安排x 名、
3(16x) = 2[10(85 - x)]
48x = 1700 - 20x
68x = 1700
x = 25
\85 - x = 60人
名工人加工大、小齿轮
安排问题：
，假设每室住8人，还少12个床位，假设每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
例 2. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？〔比例安排问
题 常用等量关系：各局部之和＝总量。〕
年龄问题：
例 1、甲比乙大 15 岁，5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？
例 2、小华的爸爸现在的年龄比小华大 25 岁，8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁，求小华现在的年龄。
5、工程问题
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间常常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例 1. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其
他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
1 1 x
解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，( + )×3+ =1，
15 12 12
...................
例 2、在西部大开发中，根底建设优先进展，甲、乙两队共同承包了一段长6500 米的高速大路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480 米，乙队平均每天比甲队多完成220 米， 乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？
6、 打折销售问题
销售问题中常消灭的量有：进价、售价、标价、利润等
根本关系式：
①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价 。
由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。由③④可得出⑤利润率＝ 。
例 1、一件衣服标价是 200 元，现打 7 折销售。问：买这件衣服需要多少钱？假设这件衣服的本钱〔进价〕是 115 元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？
例 2、 某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135 元售出，假设按本钱计算，其中一件赢利25%， 另一件亏损 25%，问这次售货员是赔了还是赚了？
7、行程问题。〔行程问题可以承受画示意图的关心手段来帮助理解题意，并留意两者运动时动身的时间和地点〕
要把握行程中的根本关系：路程＝速度×时间。
相遇问题〔相向而行〕，这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题〔同向而行〕，这类问题的等量关系是：
同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般状况下问题就能迎刃而
解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例 7. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。
慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600 公里？
两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 公里？
两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。
〔1〕分析：相遇问题，画图表示为：
甲 乙
等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。
解：设快车开出x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480
16
解这个方程，230x=390 ∴ x=1 23
分析：相背而行，画图表示为：
600
甲 乙
等量关系是：两车所走的路程和+480 公里=600 公里。
解：设x 小时后两车相距 600 公里，
12
由题意得，(140+90)x+480=600 解这个方程，230x=120 ∴ x=
23
〔3〕分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480 公里=600 公里。
解：设x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140－90)x+480=600 ∴ x=
分析：追及问题，画图表示为：
甲 乙
等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。解：设x 小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480
解这个方程，50x=480 ∴ x=
(4) 分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。解：设快车开出x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480
50x=570 解得， x=
① 答：略.
环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。
航行问题：顺水〔风〕速度＝静水〔风〕速度＋水流〔风〕速度 逆水〔风〕速度＝静水〔风〕速度－水流〔风〕速度
例： 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3 小时，求两码头的之间的距离？
抓住两码头间距离不变，水流速和船速〔静不速〕不变的特点考虑相等关系．
1、A、B 两地相距 150 千米。一辆汽车以每小时 50 千米的速度从A 地动身，另一辆汽车以每小时
40 千米的速度从B 地动身，两车同时动身，相向而行，问经过几小时，两车相距30 千米？
2、甲、乙两人练习100 米赛跑，甲每秒跑7 米，乙每秒跑 米，假设甲让乙先跑1 秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2 小时 45 分，逆风要 3 小时，风速是 20 千米／小时， 则两城市间的距离为多少？
4、一列火车以每分钟 1 千米的速度通过一座长 400 米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？
5、火车用 26 秒的时间通过一个长 256 米的隧道〔即从车头进入入口到车尾离开出口〕，这列火车又以 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求列车的长度。
市场经济问题
〔1〕商品利润＝商品售价－商品本钱价 〔2〕商品利润率＝
商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝〔销售价－本钱价〕×销售量
商品利润商品本钱价
×100%
商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售．
银行储蓄问题。
留意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。
本息和＝本金＋ ＝本金＋ × × ＝〔1＋ × 〕×本金〔不考虑利息税〕 本息和＝本金＋ ＝本金＋ × × ×〔1－ 〕〔考虑利息税〕
1、张先生于 1998 年 7 月 8 日买入 1998 年中国工商银行发行的 5 年期国库券 20250 元，假设在 2025 年 7
月 8 日可获得利息数为 2790 元，则这种国库券的年利率是多少？
2、％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买以一只价值 576 元的 CD 机，问小明爸爸前年存了多少钱？
3、教育储蓄年利率为 ％，免征利息税，‰，但要征收 20％的利息税，为猎取更大回报，投资者应悬着哪一种储蓄呢？某人存入 28000 元，一年到期后可以多收益多少元？
4、肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债券4500 元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700
元，问这种债券的年利率是多少？〔％〕
5、某人将 20250 元钱分成两局部，按两种不同方式存入银行，其中 10000 元按活期方式存一年，另 10000 元按定期存一年，一年后共取回 21044 元，又定期一年存款约利率为 ％，求活期存款月利率是多少？
利润＝
每个期数内的利息本金
×100% 利息＝本金×利率×期数
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息
利息税=利息×税率〔20%〕
例 9. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。 元，求银行半年期的年利率是多少？〔不计利息税〕
分析：等量关系：本息和=本金×〔1+利率〕 解：设半年期的实际利率为x， 250〔1+x〕=，
x=
所以年利率为 ×2=
1．将一批工业最动态信息输入治理储存网络，甲独做需6 小时，乙独做需4 小时，甲先做30 分钟， 然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
3．将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80 毫米的长方体铁盒中的水，倒入
一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高〔准确到 毫米， ≈〕．
某车间有16 名工人，每人每天可加工甲种零件5 个或乙种零件 4 个．在这16 名工人中，一局部人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． 每加工一个甲种零件可获利16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元．假设此车间一共获利 1440 元， 求这一天有几个工人加工甲种零件．
某地区居民生活用电根本价格为每千瓦时 元，假设每月用电量超过 a 千瓦时，则超过局部按根本电价的 70%收费．
某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 元，求a．
元，则九月份共用电多少千瓦？ 应交电费是多少元？