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吴国忠，袁兆成，齐晗兵，李栋，刘杰
〔东北石油大学 土木建筑工程学院，黑龙江省 大庆市 163318，******@126 〕
摘要：针对一维热集中方程的数学特点，建立了热集中方程离散速度模型，构造了其平衡态分布函数，承受 Chapman-Enskog 开放和多尺度技术，构建了用于求解一维热集中方程的
D1Q3 模型，进展了验证性数值试验。试验结果说明，模型的数值解与文献的解析解吻合良好，其两者的误差随网格细化而大幅度减小，从而说明白本文构建的格子 Boltzmann 模型可用于求解一维热集中方程。
关键词：一维热集中方程；格子Boltzmann 方法；Chapman-Enskog 开放；多尺度技术；数
值模拟
中图分类号： 文献标识码：A
Lattice Boltzmann Method Analysis of One Dimension Thermal Diffusion Equation
Wu Guozhong, Yuan Zhaocheng, Qi Hanbing, Li dong, Liu Jie
(Northeast Petroleum University, School of Civil and Architecture Engineering, Daqing, 163318， ******@126 )
Abstract：According to the mathematical characteristics of one dimension thermal diffusion equation, the discrete velocity model and an equilibrium distribution function of thermal diffusion equation were established. D1Q3 model was proposed for one dimension thermal diffusion equation using Chapman-Enskog expansion and multiscale technique. Verification experiments were conducted. The results show that the simulation results are consistent with analytic solutions. The absolute errors between the simulation and analytic solutions become smaller with the mesh refining. And the effectiveness of the lattice Boltzmann model to solve one dimension thermal diffusion equation in this paper is verified.
Key words ： one dimension thermal diffusion equation; lattice Boltzmann method;
Chapman-Enskog expansion; multiscale technique; numerical simulation
近年来，格子Boltzmann 方法〔LBM〕 件简洁处理以及并行性能好等优点，被广泛在求解偏微分方程领域进展很快速，特别是 应用于微/纳米尺度流[1]、多孔介质流[2]、多求解Navier-Stokes 方程获得很大成功。由于 相多质流[3]和晶体生长[4]等很多领域。Boltzmann 方法具有物理图像清楚、边界条
基金工程：国家自然科学基金 (No. 51274071)。
作者简介：吴国忠〔1961-〕，男，教授，博士生导师，争论方向：格子 Boltzmann 传热应用；
袁兆成〔1990-〕，男，硕士争论生；
齐晗兵〔1975-〕，男，教授，硕士生导师；李栋〔1979-〕，男，副教授，硕士生导师；刘杰〔1988-〕，男，硕士争论生。
集中过程在物理、化学、生物等很多领域中起着很重要的作用。热集中方程是描述传热过程的一个重要方程，但在简单的边界
其中：f eq 是平衡态分布函数。i
依据统计物理，分布函数遵守以下格子
Boltzmann 方程：
和初始条件下，解析求解是很困难的。很多
学者利用格子 Boltzmann 方法求解集中问
f (x + ce
a a
Dt, t + Dt) - f
a
(x, t)
题，并取得了很多成果。刘慕仁等人给出了求解一维有源集中方程的格子Boltzmann 模
= - 1 ( f
t a
〔3〕
(x, t) - f eq (x, t))
a
型，确定了局部平衡函数 Chapman-Enskog 开放的待定系数[5] ， 他们还利用格子Boltzmann 方法求解了一维对流集中方程， 确定了方法中的粘滞系数与对流系数的关 系 [6] 。 徐 世 英 等 人 利 用 浓 度 分 布 的Chapman-Enskog 开放及多尺度技术，得出了Tyson反响集中的反响物和催化剂随时间的浓度空间分布值[7]。本文在前人的争论根底上，提出了格子 Boltzmann 方法求解一维热集中方程的有效数值方法。
其中：t 是弛豫时间，式〔3〕也称 LBGK
〔Lattice BGK，简称LBGK〕方程，为满足稳定性条件，要求t ≥。
由式〔3〕可知，只要得到 feq(x,t)就可以得出以后时间的分布函数 f(x,t)。由 LBGK 方程恢复宏观方程的关键是选择适当的平 衡态分布函数。由统计力学可知，在局域平衡条件下，分布函数可表示为局域平衡量的
函数，考虑到 e 的对称性，将平衡态分布函
a
数表示为：
ì f eq
= a T + a
e T a = -1,1
热集中方程的Boltzmann 模型
í a 1 2 a
〔4〕
î
f eq a
= a T a = 0
0
一维热集中方程表达式：
l
式中：a 、a 、a 为待定系数。
0 1 2
格子Boltzmann 方程
¶ T + u¶ T =
t x
¶2T 〔1〕
rc x
p
对式〔3〕的左侧项进展空间和演化时间的Taylor 级数开放，取其到二级项可得：
式中，T 是温度，要求 T ≥0，u 为速度，λ/ρc
p
为热集中系数，λ 为导热系数，ρ 为密度，
¶ f + ce ¶ f
t a a t a
Dt
2
¶2 f
t a
1
c 为定压比热容。
p
平衡态分布函数
将一维空间离散成均匀的线性格子，
Dtce ¶ ¶ f +
a t x a 2
Dtc2e2¶ 2f
a x a
〔5〕
每个节点与相邻的节点相连。将速度c
=ce 1
a a = - ( f - f eq )
离散为三个方向，e
a
可取值-1，0，1，分别
tDt a a
对应粒子速度方向向左、不动和向右三种情
况。c = Dx / Dt 为粒子迁移速率，3-速格子模型如图 1 所示。
应用 Chapman-Enskog 方法对时间系
数、空间系数和分布函数进展多尺度开放， 可得到
e e e
1 0 2
ì¶ = e¶
ï t e t1
+ e 2¶
t 2
图 1 3-速格子模型示意图
í¶ =
î
ï x
¶ 〔6〕
1x
Figure 1. Schematic diagram of 3-bit lattice model
用f (x,t)表示沿e 方向的粒子分布函数，
i a
表示在时间 t 时，在位置 x 处粒子消灭的概
率，应有 f ≥0，宏观量 T 定义为：
i
f = f eq + ef 1 + ef 2
a a a a
式中，ε 是个小参量。
将式〔6〕代入〔5〕式，在 ε 一阶小量下有
1
T = å2
f (x, t) = å2
i
f eq i
(x, t) 〔2〕
¶ f eq
t1 a
ce ¶
a 1x
f eq a
= -tDt f 1
〔7〕
a
i=0
i=0
在 ε 二阶小量下有：
1 系数：
¶ f eq
t 2 a
+ (1-
)(¶ f 1
2t t1 a
〔8〕
a = 1 -
2v - u 2 ，
ce ¶
a 1x
f 1 ) = -
a
1
2
tDt fa
0 c2 Dt(2t - 1) c2
将〔7〕式和〔8〕式分别对下标求和得
出
a = u 2 1 2c2
v
+
c2 Dt(2t -1) ，
¶ T + ¶
t1 1x
åce
a
a
f eq a
= 0 〔9〕
a = u 。
2 2c
¶ T + (1 -
)¶ å ce
f 1 = 0 〔10〕
2 数值试验
1
t 2 2t 1x a a a
由此得到的式〔9〕、〔10〕即为时间 t1
和 t2 尺度下的密度平衡方程。
宏观热集中方程
将式〔4〕代入〔2〕式，可以得到：
为验证得到的热集中方程的 Boltzmann 模型，承受文献[6,8]中的算例，进展了验证性模拟试验。
验证算例 1
算例1 中热集中方程的边界条件为第一
a + 2a
0 1
= 1 〔11〕
类边界条件且为恒温，具体的掌握方程：
为了在 t
尺度上恢复方程的对流项，令
ì¶ T + u¶
T = v¶2T
1 ï t x x
uT = å f eqce
〔12〕
íT (0, t) = T (l, t) = 0 t ³ 0
ux
a a
îT 2v
a ï (x,0) = sin(p x / l) × e 0 £ x £ l
由〔9〕、〔12〕式得到
a = u
〔13〕
算例 1 的解析解在文献[6]中已给出：
2
¶ T + u¶
t1
2c
T = 0 〔14〕
1x
T (x,t) = e-(4( )2 +( )2 ) + sin〔p x 〕
l v 4 2v
p u vt ux
l
由式〔7〕和式〔14〕得到 算例 1 中热集中方程的格子Boltzmann
å ce f 1
a a
= -tDt(-u2¶ T
1x
模型求解参数：t =，u =，v =，时间步长Dt =，空间步长Dx =，粒子的
a 〔15〕
+ 2a c2¶ T )
1 1x
将〔15〕式代入〔10〕式，得到
迁移速率为c=10，总长度l=40，t 分别为280、 290、300 和 310。
图 2 给出了不同时刻 t 下算例 1 的模拟
¶ + Dt(-t )(1- 1 )
t 2 2t
(2a c2 - u2 )¶2 T = 0
〔16〕
值与解析解。从图中可以看出，t 为 280、290、300 和 310 时，模拟值与解析解的最大确定误差分别为 -04 、 -05 、
-05 和 -06，从而说明数值解与解
1 1x
将〔14〕式乘以ε，〔16〕式乘以ε2，两式相加便可回到宏观尺度下的方程〔1〕。
l
析解吻合良好。
网格数目对模拟结果精度有肯定的影响。本文分析网格数目为 80、200 和 400 时，
令v =
rc ，则
p
v = Dt(t -
1 )(2a c2
2 1
- u 2 ) 〔17〕
对计算精度的影响状况。
由式〔11〕、〔13〕和〔17〕可得出待定
表 1 为t =，u =，v =，时间步长Dt =， t =300，总长度 l=40，空间步长Dx 分别为 ， 和 时，各个节点在不同网格数目下的解析解与数值解及其
确定误差。从表中可以看出，网格数目分别为 80、200 和 400 -03、-04 和 -05。由此可见，
随着网格的细化，模拟结果确实定误差越来越小。
图 2 不同时刻下算例 1 的模拟值与解析解的比较
Figure 2. Comparison of simulation results with analytic solutions at different times in the case 1
表 1 各节点在不同网格数目下的解析解与模拟值及其确定误差
Table 1. Simulation results，analytic solutions and absolute error of different points under different grid numbers
80 网格
200 网格
400 网格
x
解析解
模拟值
确定误差
模拟值
确定误差
模拟值
确定误差
5
-05
-06
-06
10
-04
-05
-06
15
-04
-05
-05
20
-03
-04
-05
25
-03
-04
-05
30
-03
-04
-05
35
-03
-04
-05
验证算例 2
算例2 中的热方程的边界条件是随着时间 t 变化的，具体方程如下：
ì¶ T + u¶ T = v¶2T
ï t x x
íT (0, t) = e(u +v)t ,T (l, t) = e-l +(u +v)t
î
ïT (x,0) = e- x
t ³ 0
0 £ x £ l
该问题的解析解在文献[8]中已给出：
T (x,t) = e- x+(u +v)t
图 3 给出了不同时刻 t 下算例 2 的模拟值与解析解。从图中可以看出，t 分别为 1、4 、7 和 10 时的最大确定误差分别为
-04、-04、-04 和 -04，
从而说明数值解与解析解吻合良好。
图 3 不同时刻下算例 2 的模拟值与解析解的比较
Figure 3. Comparison of simulation results with analytic solutions at different times in the case 2
3 结语
本文基于格子 Boltzmann 方法，承受Chapman-Enskog 开放和多尺度技术，建立了求解一维热集中方程的D1Q3 模型，模型的数值解与文献的解析解吻合良好，其两者的误差随网格细化而大幅度减小，从而说明白本文模型可用于求解一维热集中方程。
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