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2018 年高考“平面向量”专题解题分析
段喜玲11，，张晓斌张晓斌22，，吴波勇吴波勇11
（（11.. 重庆市长寿川维中学；；2 2.. 重庆市教育科学研究院））
摘 要：文章对2018年高考中关于平面向量的试题按不同知识点进行归纳解析，突出本专题考点
的几个侧重点，并在此基础上进一步总结解决平面向量问题的思想方法 ，再通过对典型问题的解法欣
赏，感受数学的灵动之美.
关键词：2018 年高考；平面向量；试题解析
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标 识、基本技能和数形结合的思想方法 ，在全国Ⅲ卷、
准》） 指出，向量是近代数学中重要和基本的概念之 北京理科卷中有解析几何与向量结合的解答题 . 上海
一，有着深刻的几何背景和极其丰富的实际背景 . 向 卷、浙江卷 、江苏卷中选择题和填空题的综合性较
量是既有大小又有方向的量 . 有了向量的概念 ，几何 强，侧重对学生运算能力和运用向量解决问题能力的
中的全等、平移、垂直等问题可以转化为向量的运算 考查.
问题；有了向量的运算，三角函数、三角问题可以转 1. 平面向量基本定理
化为向量问题；有了向量的坐标表示 ，向量的运算问 例1 （全国Ⅰ卷·文7 / 理6） 在△ABC 中， AD
题可以转化为代数的运算问题 . 因此，向量是沟通代 为 BC 边上的中线， E 为 AD的中点，则 EB 为（ ）.
3 1 1 3
数、几何与三角函数的桥梁 ，是通过“数”的运算处 （A） AB - AC （B） AB - AC
4 4 4 4
理“形”的问题的重要方法. 3 1 1 3
（C） AB + AC （D） AB + AC
平面向量作为高考的必考内容 ，主要考查平面向 4 4 4 4
量的基本概念、线性运算、平面向量基本定理 、坐标 分析：此题以三角形为背景 ，涉及平面向量基本
运算、平面向量的平行与垂直的充要条件 、数量积及 定理和线性运算，结合选项以 AB， AC 为基底表示即
其应用等 . 通过对高考试题中平面向量问题的解析 ， 可，也可以从向量的坐标运算和基本定理出发 ，用方
程的思想求解，还可以考虑选择题的特点 ，将问题背
把握本专题考查的侧重点 ，体会平面向量在代数 、几
景特殊化，即用特殊解法解决.
何与三角中的工具性和灵活性 ，归纳解决平面向量问
解法1：以 AB， AC 为基底，得
题的一般思想与方法.
EB = EA+ AB
1
一、试题内容结构及其解法 =- AD + AB
2
1
=- (AB + AC)+ AB
4
综观2018年全面向量的相
= 3 AB - 1 AC.
关试题，与2017年相比延续了平稳、平和的特点. 4 4
试题仍以选择题和填空题为主 ，重点考查基础知 故选A.
收稿日期：2018—07—09
作者简介：段喜玲（1979—），女，中级教师，重庆市骨干教师，重庆市高中数学张晓斌名师工作室学员 ，主要从事高中数
学教学研究.
· 1 ·
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解法 2：由题意 ，分别设点 A，B ，C ，E 的坐标 化简，得 8a2 +12a∙ b-8b2 =0.
为 A(2m，2n )，B (-a，0 )，C (a，0 )，E (m，n )， 因为 a，b 为单位向量，
则 AB=(-a-2m，-2n)， AC=(a-2m，-2n)， EB= 所以 a ∙ b=0，
(-a-m，-n). 即 a⊥b.
所以|a-3b|=|3a+b|是 a⊥b 的充分条件.
设 EB =λAB +μAC，得
ì-a(λ-μ)-2m(λ+μ)=-a-m， 反之，因为 a⊥b，
í 所以 a ∙ b=0.
î-2n(λ+μ)=-n，
2 2 2
ìïìïλ-μ=1， 所以|a-3b|= (a-3b) = a +9b= 10，
即 íïíï 1
λ+μ= . 2 2 2
î 2 |3a+b|= (3a+b) = 9a+b = 10.
ìλ= 3， 故 a-3b= 3a+b = 10.
ï 4 | | | |
解得 í
ïμ=-1. 所以|a-3b|=|3a+b|是 a⊥b 的必要条件.
î 4
综上所述，|a-3b|=|3a+b|是 a⊥b 的充要条件.
故选A.
解法3：建立如图1所示的直角坐标系， 故选C.
例 3 （全国 Ⅲ 卷 · 文 / 理 13） 已知向量
取 A(0，2 )，B (-1，0 )，C (1，0 )，E (0，1 ).
a=(1，2 )，b =(2，-2)，c =(1，λ ). 若c∥ (2a+b)，则
则 AB=(-1，-2)， AC =(1，-2)， EB=(-1，-1).
λ= .
EB =λAB +μAC. y
A 分析：此题源自教材，显然可以用向量的坐标运
ìïìï-λ+μ=-1，
则 í 1 算进行解答，先算出 2a+b 的坐标，再用共线定理的
ïλ+μ= . E
î 2 坐标表示即可.
ìλ= 3， B D C x 解：因为 2a+b=(4，2 )，c ∥ (2a+b)，
ï 4
得 í
ïμ=-1. 图1 所以 2=4λ.
î 4
解得 λ= 1.
故选A. 2
2. 两向量平行与垂直的充要条件 例 4 （北京卷 ·文 9） 设向量 a=(1，0 )，b =
例2 （北京卷·理6）设 a，b 均为单位向量，则 (-1，m )，若 a⊥ (ma-b)，则 m 的值为 .
“|a-3b|=|3a+b|”是“ a⊥b ”的（ ）. 分析：此题涉及向量的坐标运算 ，两个向量垂直
（A）充分而不必要条件 的坐标关系 . 可以先算出 ma-b 的坐标，再由两个非
（B）必要而不充分条件 零向量垂直充要条件的坐标形式解得 ，也可以先用两
（C）充分必要条件 个非零向量垂直的充要条件，再坐标化进行求解.
（D）既不充分也不必要条件 解法1：因为 ma-b=(m+1，-m)，a ⊥ (ma-b)，
分析：此题涉及单位向量的概念 、向量模的运 所以 a · (ma-b)=0，
算、向量垂直的充要条件 ，将模相等的式子进行平方 即 m+1=0.
处理，转化为向量运算 ，反之分别计算 a-3b，3a +b 解得 m=-1.
的模，此题以向量为载体考查充分必要条件的本质 ， 解法2：因为 a⊥ (ma-b)，
故对充要条件的判断是一个难点. 所以 a · ∙(ma-b)=ma2 -a ∙ b=0.
解：由|a-3b|=|3a+b|，得 由 a2 =1，a ∙ b=-1，
2 2
(a-3b) =(3a+b) . 解得 m=-1.
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3. 平面向量数量积 解法1：设 B(x，y )，
例5 （全国Ⅱ卷·文 / 理4）已知向量 a，b 满足 则 PB =(x，y -1)， AP =2PB =(2x，2y -2).
|a|=1，a ∙ b=-1，则 a · (2a-b)的值为（ ）. 所以 A(-2x，3 -2y).
（A）4 （B）3 因为点 A，B 在椭圆上，
（C）2 （D）0 2 2
ìïìïx +9-12y+4y=m，
分析：此题涉及向量的模 、数量积，以及数乘向 所以 íx2 2
ï +y =m.
î4
量运算，用运算律将其展开，整体代换即可.
2 2 2
2 整理，可得 4x=-m +10m-9=-(m-5) -16.
解： a · ∙(2a-b)=2a-a ∙ b，
故 m=5 时，|x|取得最大值.
因为|a|=1，a · b=-1，
解法2：设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，
所以 a(2a-b)=3.
因为 AP =2PB，
故选B.
例6 （天津卷·文8）在如图2 A 所以 x1=-2x2，点 A，P ，B 共线.
N
M 设直线 AB 的方程为 lAB：y =kx+1 (k≠0)，
所示的平面图形中 ，已知 OM=1， O C
y=kx+1，
ON=2，∠ MON=120°， BM =2MA， B ìïìï
联立方程 íx2 2 得
图2 ï +y =m，
CN =2NA，则BC ∙ OM的值为（ ）. î4
（A）-15 （B）-9 8k 4-4m
x1+x2 =- 2，x 1x2 = 2 .
（C）-6 （D）0 1+4k 1+4k