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2019年高考“立体几何”专题解题分析
11 11 22
徐新斌 ，，蒋志方蒋志方 ，，周远方周远方
（（11.. 湖北省孝感高级中学；；2 2.. 湖北省教育科学研究院））
摘 要：2019年高考立体几何试题延续了近几年的命题风格，在题量、题型和分值等方面基本保
持稳定的基础上，突出了立体几何的基础性、综合性、应用性和创新性 . 试题依托常见立体模型，立
足教材，源于生活，联系实际，解法多样，嵌入劳动教育要求，融入传统数学文化，重点考查了学生
的直观想象、逻辑推理和数学运算素养，凸显了由能力立意到素养导向的变化，对立体几何的教学有
很好的导向和促进作用.
关键词：2019 年高考；立体几何；试题特点；解题分析；解法赏析
立体几何是高考数学考查学生空间想象能力和逻 题、一道解答题）2道题，共计17分，且文、理科试卷
辑思维能力的主要载体. 综观2019年高考的13份数学 仅解答题有一问相同 ，文、理科差异相对较大. 与以
试卷中的立体几何试题 ，全面考查了直线与平面的平 往对比来看，三套全国卷的立体几何试题部分保持稳
行、垂直等关系的判断 、推理和证明；同时也考查了 定，其他各卷与全国卷基本保持一致.
空间角、距离、表面积和体积等基本几何量的计算. 1. 试题分布合理，难度稳中有降
试题以考查立体几何基础知识和基本技能为主线 ，结 2019年高考中的立体几何试题在题型 、题量、分
合生活实际和数学文化 ，突出考查了学生的直观想 值、难度等方面均保持相对稳定. 在考查立体几何的
象、数学抽象 、逻辑推理 、数学运算等数学核心素 主干知识的基础上 ，试题位置分布合理 ，难度稳中有
养. 试题整体难度适中 ，内容源于教材 ，情境贴近实 降. 与2018年相比，2019年三套全国试卷的立体几何
际，体现了立体几何原理和方法在解决问题中的价值 试题有以下两个变化 ：一是没有考查新课程中已经删
和作用. 除的三视图内容，意在稳步对接不分文 、理科的新高
考；二是小题在试卷中的位置相对稳定 ，难度适中 ，
一、试题特点 大题位置略有提前，难度略有降低.
2. 重点突出，考查全面
在2019年高考的13份数学试卷中，考查立体几何 2019年高考中立体几何的考查重点依然集中在线
的试题共计有26道题（文、理科相同试题不累计），它 面平行与垂直关系的推理证明 、空间角与距离的求
们分布在试卷的第 4题到第19题之间. 与2018年相比， 法、多面体面积与体积的计算等主干知识上. 尤其是
2019年的全国 Ⅱ卷和全国 Ⅲ卷均保持了 “两小一大 ” 解答题，多以棱柱和棱锥为载体. 例如，全国Ⅱ卷和
（两道选择题或填空题 、一道解答题）共3道题，共计 上海卷是长方体，全国Ⅰ卷是直四棱柱，江苏卷是直
22分，且文、理科试卷选择题和填空题完全相同 ，仅 三棱柱等. 这些试题遵循了重点知识重点考查的原
有解答题的第二问不同 ，差异性较小. 全国Ⅰ卷则减 则，充分体现了利用几何法和向量法解决立体几何的
少了一道小题，变为“一小一大”（一道选择题或填空 特点.
收稿日期：2019- 07-16
作者简介：徐新斌（1963—），男，正高级中学高级教师，湖北省特级教师，苏步青数学教育奖获得者，主要从事中学数学
教育、教学和评价研究.
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3. 注重数学文化，体现育人导向 条件的棱柱，再根据题目给定的数据和公式 ，计算出
数学文化题是近几年高考试题的亮点和热点. 棱柱的体积.
2019年高考的立体几何试题 ，进一步把中华优秀传统 2. 几何体的体积，化归为基本图形是关键
文化融入到试题情境之中 ，既充分体现了数学学科的 体积是反映几何体特征的一个重要基本量 ，求体
特色，又有效考查了学生的综合素养 ，突出了数学的 积的关键是计算高 ，往往遵循在图形中直接找高或先
育人功能. 例如，全国Ⅱ卷文、理科第16题选取中国 作后证. 当然，求体积有时会用割补法 ，即对几何体
古代金石文化之一的印信为素材 ，展现了数学美和数 进行分割、补形或变换，将不规则的几何体化归为规
学应用，在让学生感受民族自豪感的同时 ，考查他们 则的基本图形. D1
C1
的空间想象能力和阅读理解能力. 例2 （全国Ⅲ卷·文/ 理16） G
B1
A1 F
学生到工厂劳动实践 ，利用 3D O
D H C
二、解法分析 打印技术制作模型. 如图2，该
E
模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1 A B
1. 三视图，还原几何体求解是通法 挖去四棱锥 O-EFGH 后所得的 图2
尽管三视图有助于培养学生的读图 、识图和画图 几何体，其中 O 为长方体的中心， E，F ，G ，H 分别
能力，对发展学生的空间观念、提升直观想象素养有较 为所在棱的中点， AB=BC=6 cm，A A1=4 cm ， 3D 打
印所用原料密度为 g / cm3 ，不考虑打印损耗，制作
强的辅助作用，但是作为新高考删除的内容 ，2019年
高考中三视图问题只出现在浙江卷和北京卷中 ，且分 该模型所需原料的质量为 .
别为一道选择题（浙江卷第4题）和一道填空题（北京 解：因为四棱锥 O-EFGH 的高为 3 cm ，
卷理科第11题 / 文科第12题）. 可见，有关三视图的试 所以 S =4×6-4× 1 ×2×3=12 cm2 .
四边形EFGH 2
题将会在高考试卷中逐年消失. 1 3
所以VO-EFGH = ×12×3=12 cm .
例1 （浙江卷·4）祖暅是 3
我国南北朝时代的伟大科学家. 6 又因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V1=4×6×
6=144 cm3 ，
他提出的 “幂势既同 ，则积不
2 2 2 3 3 3
容异”称为祖暅原理 ，利用该 所以该模型的体积为 V=V1-VO-EFGH =144-12=132cm.
正视图 侧视图
原理可以得到柱体体积公式 所以该模型的质量为 ×132= g .
V柱体 =Sh ，其中 S 是柱体的底面 【评析】 该题以 3D 打印技术制作几何体模型为背
积， h 是柱体的高. 若某柱体的 景，既贴近学生生活，又考查了实际问题中体积的计
俯视图 算方法，体现了劳动教育的要求. 该题的关键是运用
三视图如图1所示，则该柱体的
图1 几何知识计算四边形 EFGH 的面积，再联系几何体的
体积是（ ）.
（A）158 （B）162 （C）182 （D）324 体积与质量的关系 ，利用公式求解. 组合体的求解问
解：由三视图得该棱柱的高为6. 底面可以看作是 题，往往是先分解再组合 ，要求学生有一定的空间想
由两个直角梯形组合而成的（如俯视图），其中一个直 象能力和运算求解能力.
3. 异面问题，空间向平面转化是法宝
角梯形的上底为4，下底为6，高为3，另一个直角梯形
空间异面直线的判断问题是化归与转化思想的基
的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为
2+6 4+6 本应用. 通常需要利用中点 、等分点、端点等一些特
æ ×3+ ×3ö×6=162 . 故答案选B.
è 2 2 ø 殊点，通过构造三角形、平行四边形和梯形等平面基
【评析】该题以祖暅原理为背景，主要考查了学生 本图形，把空间异面直线的问题转化为平面基本图形
的识图用图能力和运算求解能力. 在弘扬中华优秀传 进行求解.
统文化的同时 ，让学生知道了棱柱体积公式的来源. 例3 （全国Ⅲ卷·文 / 理8）如图3，点 N 为正方
解题时，学生需要先根据三视图 ，正确还原得到符合 形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥ 平
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面 ABCD ， M 是线段 ED 的中点，则（ ）. 【评析】该题依托于直观图形，主要考查学生的空
E 间想象能力和运算求解能力. 解法1的关键是构造直角
三角形，利用垂直关系和中点 ，结合勾股定理，解决
M 问题. 解法2直接通过梯形的结构特征判断位置关系和
C B
N 长度大小，减少了计算量. 两种方法都需要学生兼顾
D A 定量与定性分析相结合的方式，择优选择.
图3 4. 平行与垂直，判定定理与性质定理的灵活转换
（A） BM=EN ，且直线 BM，E N 是相交直线 是根本
（B） BM≠EN ，且直线 BM，E N 是相交直线 空间线面平行与垂直位置关系的证明 ，是高考立
（C） BM=EN ，且直线 BM，E N 是异面直线
体几何考查学生直观想象 、逻辑推理等核心素养的重
（D） BM≠EN ，且直线 BM，E N 是异面直线
点内容之一. 线面平行与垂直关系既彼此独立又相互
解法1：如图4，作 EO⊥CD 于点 O ，连接 ON ，
依存，因此其判定定理与性质定理的相互转换 ，空间
BD，B E ，易得直线 BM，E N 是△EBD 的中线，是相
问题与平面问题的相互切换 ，既要求学生有较强的空
交直线.
间想象能力，又要求学生有严密的逻辑推理能力.
E
例4 （全国Ⅱ卷·文 / 理7） 设 α，β 为两个平
M 面，则 α∥β 的充要条件是（ ）.
C B （A） α 内有无数条直线与 β 平行
O
F N （B） α 内有两条相交直线与 β 平行
D A
图4 （C） α，β 平行于同一条直线
过点M 作 MF⊥OD 于点 F ，连接 BF . （D） α，β 垂直于同一平面
因为平面 CDE⊥⊥平面 ABCD ， EO⊥CD, EO⊂ 平 解：由面面平行的判定定理 ，可知“ α 内两条相
面 CDE ， 交直线都与 β 平行”是“ α∥β ”的充分条件. 由面
所以 EO⊥⊥平面 ABCD . 面平行性质定理知 ，若 α∥β ，则 α 内任意一条直线
同理，可得 MF⊥⊥平面 ABCD . 都与 β 平行. 所以“ α 内两条相交直线都与 β 平行”
所以△MFB 与△EON 均为直角三角形.
是“ α∥β ”的必要条件. 故答案选B.
设正方形边长为2 ，
【评析】该题借助充要条件，主要考查空间两个平
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得 EO= 3，O N=1，E N=2，M F= ，B F= . 面平行的判定与性质 ，利用面面平行的判定定理与性
2 2
所以 BM= 7 ，即 BM≠EN .