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（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是正确的）
1．-4的倒数是 （  ▲  ）
A．4 B． C． D．﹣4
2．函数中，自变量x的取值范围是 （  ▲  ）A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2
3．下列运算中，正确的是 （  ▲  ）
A． B． C． D．（x≠0）
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （  ▲  ）
A． B． C． D．
5．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
人数
3
6
4
4
1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是 （  ▲  ）
A．14，14 B．14， C．14，15 D．15，14
6．已知一个多边形的内角和为1800°，这个多边形的边数是 （  ▲  ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．下列说法正确的是 （  ▲  ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．平行四边形一定是轴对称图形
8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不
与C重合），点F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为 （  ▲  ）
A．2 B．2 C．5 D．10
，是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一
个小正方形EFGH无缝拼成的大正方形ABCD，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若
∠ABE的度数为α，且满足3sinα＝2cosα，则正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比
为 （  ▲  ）
A． B．13 C．5 D．
10．二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax²+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是 （  ▲  ）
A．5 B．4 C．3 D．2
第8题 第9题 第10题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．分解因式：a3－a= ▲ ．
12．月球的直径约为3 500 000米，将3 500 000这个数用科学记数法表示应为 ▲ ．
13．关于x的一元二次方程有一个根是1，则这个一元二次方程是 ▲ ．
14．已知圆锥的底面半径是3，高是4．则圆锥的侧面积是 ▲ ．
15．反比例函数y＝的图像经过点（－2，3），则k的值为 ▲ ．
16．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，△ABC的三个顶点都在格点处，则sin∠ABC的值等于 ▲ ．
17．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE=45°时，则DE= ▲ ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则∠COD的度数是 ▲ ，△AOC面积的最大值为 ▲ ．
第16题
A
C
B
第17题 第18题
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）
计算：（1）(－1) 2025＋－(π－3)0； （2）(a＋2)＋a(2－a)
20．（8分）
（1）解方程：x2－4x－1＝0； （2）解不等式组：
21．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且∠CEB=∠F．
（1）求证：△ACF≌△BCE；（2）若∠ABE＝23°，求∠BAF的度数．
22．（10分）2024世界体育舞蹈联合会（WDSF）世界青年霹雳舞锦标赛在无锡举办，某校从A，B，C，D四名学生中选两名学生参加志愿者服务．
（1）若A一定参加，再从其余三名学生中任意选取一名，恰好选中学生C的概率是 ▲ ；
（2）任意选取两名学生参加志愿者服务，求一定选中学生B的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（10分）教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，
将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随
机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下不完整的
统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
求图1中的m＝ ▲ ，本次调查数据的中位数是 ▲ h，众数是 ▲ h；
（2）补全图2中的条形统计图；
B
C
O
D
E
A
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点
D，E为AC上一点，且AE=DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OB=2，OC=1，tan A =，求AE的长．
25．（10分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：
①在AC上求作点O，使以O为圆心的圆经过A，C两点；
②若⊙O交BC于D，求作点E，使E为劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）
（2）在（1）的条件下，连接AE交BC于点F，若AB＝6，CF＝3，则cosB＝ ▲ ．
（图1） （图2）
（如需画草图，请使用图2）
26．（10分）某商店决定购A，B两种纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件）
销售量（件）
100
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但
不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场A，B型纪念品均全部
售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
27．（10分）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一动点，直线交轴于点，且．
(1)请直接写出，两点的坐标：______，______；
(2)当顶点与点关于轴对称时，．
①求此时抛物线的函数表达式；
②在抛物线的对称轴上存在点，使，请直接写出点的坐标．
2024－2025第二学期锡东片初三数学第一次模拟试卷
数学参考答案和评分标准
选择题：（每题3分，共30分）
CADBB DCCBC
填空题：（每题3分，共24分）
11． 12． 13． 14.
15．-7 16． 17． 18．135°，
三、解答题：
19．解：(1)原式＝ …………………………………………2分
＝ 1 …………………………………………4分
（2）原式＝ …………………………………………2分
＝ …………………………………………4分
20．解（1）配方得： …………………………………………2分
解得： …………………………………………4分
（2）解不等式组
由①得： …………………………………………1分
由②得： …………………………………………3分
则不等式组的解集为. …………………………………………4分
21．（1）在△ACFB和△BCE中，
∠ACF=∠BCE∠F=∠CEB∠A=∠B
  ∴△ACF≌△BCE（AAS）．   ……………………………………4分
（2）∵△ACF≌△BCE，
∴∠FAC＝∠CBE＝45°-23°=22°
∴∠BAF＝∠CAB+∠FAC=45°+22°=67°. ……………………………………8分
22．解：（1） ． …………………………………………2分
（2）用表格列出所有可能的结果：
第二名学生
第一名学生
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（画对树状图或表格）………………6分
由表格可知，共有12种等可能的结果，并且它们的出现是等可能的．“一定选中学生B”记为事件A，它的发生有6种可能，
………………8分
所以事件A发生的概率， ． ………………10分
23．解：（1）25 …………………………………………2分
3 …………………………………………4分
3 …………………………………………6分
（2）略： …………………………………………8分
（3）根据题意得：2000×70%=1400（人）． …………………………………………9分
答：该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人． …………10分
24． 解：
（1）证明：
连接OD
∵ OB=OD，
∴∠B ＝∠ODB．
∵ AE＝DE，
∴∠A ＝∠EDA．
∵∠ACB ＝90°，
∴∠A+∠B=90°,
∴∠EDA+∠ODB=90°,
∴∠ODE =90°,
∴ODOE,
∴DE是⊙O 的切线. ………………………………………………………………4分
（2）连接OE．
∵OB=2，OC=1，
∴BC＝OB+OC＝3．
∴tanA= ，
∴AC=6． …………………………………………………………6分
设AE＝DE＝x
在Rt△ODE中，∠ODE ＝90°，
∴OE2=OD2+DE2
∴x2＋4＝1+ (6－x)2 …………………………………………………………8分
∴
∴AE＝ ． …………………………………………………………10分
25． (1) ①作AC的垂直平分线，垂足为点O，以点O 为圆心，OA为半径作圆O．…3分
②过点O作CD的垂线交圆O于点E ． ……………6分
(注：本题只要画图且有痕迹，不写作法．)
(2) ． ……………10分
26．（1）解：设A、B两种纪念品每件的进价分别为 元和 元，
根据题意得 …………………………………………………………1分
…………………………………………………………2分
经检验： 是原方程的解 …………………………………………………………3分
答：A、B两种纪念品每件的进价分别为50元和20元.
（2）解：①设利润为W，
当时，
∵，
∴随的增大而增大，
∴ 当时， …………………………………………………………4分
当 时， …5分
∵，∴当 时， ……………………………………………………6分
综上所述，当 ， ． ……………………………………………………7分
② 32 ． ……………………………………………………10分
27．（1）∵∠ACB ＝90°，AB＝5， BC＝3，
∴AC＝4，
∵点 落在AC延长线上，
∴ =90°，
由旋转得：
∴
∴ . …………………………………………………………2分
（2）过点C作CG∥交AB于点G，
过点C作OHAB于点H，
由旋转得，，
∵CG∥
∴
∴∠CGB＝∠ABC
∴
∴CG=CB＝3
在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，
∴
∴
在Rt△CHB中，∠CHB ＝90°，
∴BH2=BC2－CH2=
∴
同理：∴
∴
∵BM∥CG
∴
∴. …………………………………………………………6分
DE存在最小值.
过点A作AF∥交的延长线于点F，连接，
由旋转得： ，
∴
∵
∴
∵AF∥
∴
∴
∴AF=AC
∵
∴
∴
∴
∵点E是AC的中点，
∴
∵
∴
∴
∴DE最小值为1. …………………………………………………………10分
 (1) （-2，0），（8，0） …………………………………………………………2分
(2) 把点A（-2，0）代入中，解得c＝－16a，
∴抛物线的解析式为 ，
∴点P（3，－25a），点Q（3，25a） ，
∴ ，
设直线BQ的解析式为：y＝kx＋b，代入点B和点Q坐标得：y＝-5ax＋40a，
∴ 点E坐标为（0，40a），
∴
∴
∴抛物线的解析式为：. ……………………………………………8分