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方案设计型试题
例 1、〔常州〕七〔２〕班共有50 名学生，教师安排每人制作一件A 型或 B 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料 36 kg ，乙种制作材料 29 kg ，制作 A 、 B 两
种型号的陶艺品用料状况如下表：
需甲种材料
需乙种材料
1 件 A 型陶艺品
kg
kg
1 件 B 型陶艺品
kg
1 kg
设制作 B 型陶艺品 x 件，求 x 的取值范围；
请你依据学校现有材料，分别写出七〔2〕班制作A 型和 B 型陶艺品的件数．
分析：此题的背景是与人们的生活息息相关的现实问题，此题的条件较多，
要分清楚每个量之间的关系，还有，弄清楚这些陶艺品并不能将料全部用完后， 此题目就较简洁解决了。
解：〔1〕由题意得：
ì(50 - x) + £ 36¼¼¼①
î
í
(50 - x) + x £ 27¼¼¼¼②
由①得，x≥18，由②得，x≤20，
所以 x 的取值得范围是 18≤x≤20〔x 为正整数〕
〔2〕制作A 型和B 型陶艺品的件数为：
①制作A 型陶艺品 32 件，制作B 型陶艺品 18 件；
②制作A 型陶艺品 31 件，制作B 型陶艺品 19 件；
③制作A 型陶艺品 30 件，制作B 型陶艺品 20 件； 说明：
此题考察的是不等式组的应用及解不等式。
运用不等式的有关学问解决问题，是近年来中考命题的热点。
例2．〔2025年恩施自治州〕某中学平坦的操场上有一根旗杆〔如图〕，一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具
〔皮尺、测角器、标杆〕可供选用 ,请你用所学的学问，帮助他们设计测量方案.
要求:(1)画出你设计的测量平面图;
简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a、b、c„表示;角度用α 、
β „表示);
依据你测量的数据,计算旗杆的高度.
分析：这是一道全开放的试题，它是在限定条件、限定测量工具的状况下测量河宽，对测量方法、测量工具计算河宽的表达式均没有限制，实行全开放，它考察学生活用数学的力量和创力量。
解：(1)如下图
①在操场上选取一点D, A
用皮尺量出BD=a 米
②在点D 用测角器测出旗杆顶部A 的仰角∠ACE=α E C
③用皮尺量出测角器CD=b 米 b
明显BE=CD=b,BD=CE=a ∠AEC=90o B a D
∴AE=CE×tanα
∴AB=AE+BE=atanα +b
说明：此题考察解直角三角形的有关学问的应用。
练习
本钱(万元/套)
售价(万元/套)
A
25
30
B
28
34
1、某房地产开发公司打算建 A、B 两种户型的住房共 80 套，该公司所筹资金不少于 2090 万元，但不超过 2096 万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房本钱和售价如下表：
某公司为了扩大经营，打算购进6 台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购置机器所耗资金不能超过34 万元。
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(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大?
(3)依据市场调查，每套 B 型住房的售价不会转变，每套 A 型住房的售价将会提高 a 万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?
注：利润=售价-本钱
双蓉服装店老板到厂家选购 A、B 两种型号的服装，假设购进 A 种型号服装 9 件， B 种型号服装 10 件，需要1810 元；假设购进A 种型号服装 12 件，B 种型号服装 8 件，需要 1880 元。
求 A、B 两种型号的服装每件分别为多少元?
假设销售 1 件 A 型服装可获利 18 元，销售1 件 B 型服装可获利 30 元，依据市场需求，服装店老板打算，购进 A 型服装的数量要比购进B 型服装数量的 2 倍还多 4 件，且A 型服装最多可购进 28 件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于 699 元，问有几种进货方案?如何进货?
按该公司要求可以有几种购置方案？
价格〔万元/台〕
每台日产量〔个〕
甲
7
100
乙
5
60
假设该公司购进的 6 台机器的日生产力量不能低于 380 个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
4、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧 平均每集有收视观众 20 万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15 万人次， 公司要求电视台每周共播放 7 集。
设一周内甲连续剧播 x 集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为 y 万人次，求y 关于x 的函数关系式。
电视台每周只能为该公司供给不超过 300 分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需 50 分钟，播放乙连续剧每集需35 分钟，请你用所学学问求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值。
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5、我市某果农收获荔枝30 吨，香蕉 13 吨，现打算租用甲、乙两种货车共10 辆将这批水果全部运往深圳，甲种货车可装荔枝4 吨和香蕉 1 吨，一种货车可装荔枝香蕉各 2 吨；
该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
〔2〕假设甲种货车每辆要付运输费 2025 元，乙种货车每辆要付运输费 1300
元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
某市经济开发区建有 B、C、D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区 A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上， 它们之间有大路相通， 且AB = CD = 900 米， AD = BC = 1700 米．自来水公司已经修好一条自来水主
管道 AN , BC 两厂之间的大路与自来水管道交于 E 处， EC = 500 米．假设自来
水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800 元．
要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
D
如图是一条河，点 A 为对岸一棵大树，点 B 是该岸一根标杆，且 AB 与河岸大致垂直，现有如下器材：一个卷尺，假设干根标杆，依据所学的数学学问，设计出一个测量A、B 两点间距离的方案，在图上画出图形，写出测量方法。
高为 米的教学楼ED 前有一棵大树AB〔如图 1〕．
某一时刻测得大树AB、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC= 米，DF=，求大树AB 的高度．
用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一．种．测量大树 AB 高度的方案，要求：
①在图 2 上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上〔长度用字母m 、n „表示，角度用希腊字母α 、β „表示〕；
E
A
B
C
D
F
②依据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度〔用字母表示〕．
A
B
光线
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图 1 图 2
C
E C
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N
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力量训练
甲、乙两同学开展“投球进筐”竞赛，双方商定：① 竞赛分 6 局进展，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便完毕；② 假设一次未进可再投其次次，以此类推，但每局最多只能投8 次，假设 8 次投球都未进，该局也完毕；③ 计分规章如下：a. 得分为正数或 0；b. 假设 8 次都未投进，该局得分为 0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6 局竞赛的总得分高者获胜 .
设某局竞赛第 n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述商定， 用公式、表格或语言表达等方式，为甲、乙两位同学制定一个把 n 换算为得分M 的计分方案；
假设两人6 局竞赛的投球状况如下(其中的数字表示该局竞赛进球时的投球次数，“×”表示该局竞赛 8 次投球都未进)：
第一局
其次局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
×
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
×
依据上述计分规章和你制定的计分方案，确定两人谁在这次竞赛中获胜.
2、某家庭装饰厨房需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50 片，价格为 30 元；小包装每包30 片，价格为 20 元，假设大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购置方案才能使所付费用最少?
3．李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购置同样的一种桶装矿泉水，李明家第 一季度从甲、乙两供水点分别购置了10 桶和 6 桶，共花费51 元；陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购置了 8 桶和 12 桶。且在乙供水点比在甲供水点
多花 18 元钱。假设只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购置这种桶装矿泉水更廉价一些？
4、某校八年级〔1〕班共有学生 50 人，据统计原来每人每年用于购置饮料的平均支出是a 元．经测算和市场调查，假设该班学生集体改饮某品牌的桶装纯洁水， 则年总费用由两局部组成，一局部是购置纯洁水的费用，另一局部是其它费用780 元，其中，纯洁水的销售价x(元/桶)与年购置总量y (桶)之间满足如下图关系．〔1〕求 y 与 x 的函数关系式； 〔2〕假设该班每年需要纯洁水 380 桶，且 a 为 120 时，请你依据供给的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯洁水与个人买饮料，哪一种花钱更少？〔3〕当 a 至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯洁水肯定合算？从计算结果看，你有何感想〔不超过30 字〕？
利群商厦对销量较大的 A、B、C 三种品牌的纯牛奶进展了问卷调查，共发放问卷 300 份〔问卷由单项选择和多项选择题组成〕，对收回的265 份问卷进展了整理，局部数据如下：〔1〕最近一次购置各品牌纯牛奶用户比例如以下图：
〔2〕用户对各品牌纯牛奶满足状况汇总如下表：
内容
质量
广告
价格
品牌
A B
C A
B
C A
B
C
满足的户数
196 115
115 132
173
108 98
101
101
结合上述信息答复以下问题：
①A 品牌牛奶的主要竞争优势是什么？请简要说明理由。
②广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。
③你对厂家C 有何建议？
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6、某电脑公司现有A，B，C 三种型号的甲品牌电脑和D，E 两种型号的乙品牌电脑．期望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
写出全部选购方案(利用树状图或列表方法表示〕；
假设(1)中各种选购方案被选中的可能性一样，那么 A 型号电脑被选中的概率是多少？
现知期望中学购置甲、乙两种品牌电脑共 36 台(价格如下图)，恰好用了 10 万元人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，求购置的 A 型号电脑有几台．
今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定假设干天内完成．
甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的 2 倍多 4 天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的 2 倍少 16 天．假设甲、乙两组合做 24 天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
5
在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的 6 后，工程队又承包了
东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由．
班委会打算，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22 支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支5 元，钢笔每支 6 元。(1)假设他们购置圆珠笔、钢笔刚好用去 120 元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？ (2)假设购圆珠笔可 9 折优待，钢笔可 8 折优待，在所需费用不超过 100 元的前
提下，请你写出一种选购方案。
学校书法兴趣小组预备到文具店购置A、B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购置A 型毛笔不超过 20 支时，按零售价销售；超过20 支时，超过局部每支比零售价低 元，其余局部仍按零售价销售。一次性购置B 型毛笔不超过 15 支时，按零售价销售；超过 15 支时，超过局部每支比零售价低 元，其余的局部仍按零售价销售。
假设全组共有 20 名同学，假设每人各买1 支型毛笔和 2 支 B 型毛笔，共支付 145 元；假设每人各买2 支 A 型毛笔和 1 支B 型毛笔，共支付129 元，这家文具店的A、B 型毛笔的零售价各是多少？
为了促销，该文具店对 A 型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种的销售方法：无论购置多少支，一律按原零售价〔即〔 1〕中所求得的 A 型毛笔的零售价〕90％出售。现要购置 A 型毛笔 a 支〔a>40〕，在的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购置花钱较少？并说明理由。
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答案： 练习一
1、解：(1)设 A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80-x)套． 由题意知 2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x≤50
∵ x 取非负整数， ∴ x 为 48，49，50． ∴ 有三种建房方案：
A 型 48 套，B 型 32 套；A 型 49 套，B 型 31 套；A 型 50 套，B 型 30 套(2)设该公司建房获得利润W(万元)．
由题意知W=5x+6(80-x)=480-x
∴ 当x=48 时，W 最大=432(万元)
即 A 型住房 48 套，B 型住房 32 套获得利润最大
(3)由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x，
∴ 当O<a<l 时， x=48，W 最大，
即 A 型住房建 48 套，B 型住房建 32 套，
当 a=l 时，a-1=O，三种建房方案获得利润相等
当 a>1 时，x=50，W 最大，即A 型住房建 50 套，B 型住房建 30 套
2、
方案一：不购置甲种机器，购置乙种机器6 台； 方案二：购置甲种机器 1 台，购置乙种机器 5 台； 方案三：购置甲种机器 2 台，购置乙种机器 4 台；
按方案一购置机器，所耗资金为 30 万元，购置机器日生产量为 360
个；
按方案二购置机器，所耗资金为 1×7＋5×5＝32 万元；，购置机器日生产量为 1×100＋5×60＝400 个；
按方案三购置机器，所耗资金为 2×7＋4×5＝34 万元； 购置机器日生产量为 2×100＋4×60＝440 个。
因此，选择方案二既能到达生产力量不低于380 个的要求， 又比方案三节约 2 万元资金，故应选择方案二。
练习二
1．测量A、B 两点间距离的方法有很多种，
答案不惟一，一般承受全等、相像的学问来解决。
2、〔1〕过 B、C、D 分别作 AN 的垂线段 BH、CF、DG ，交 AN 于 H、F、G ，
BH、CF、DG 即为所求的造价最低的管道路线． 图形如下图．
〔2〕〔法一〕
BE = BC - CE = 1700 - 500 = 1200 〔米〕，
- 2 -
- 2 -
AB 2 + BE 2
AE =
=1500〔米〕，
- 2 -
∵ DABE ∽ DCFE ， 得到： CF = CE ．
- 2 -
∴ CF =
CE · AB =
500 ´ 900
AB AE
= 300 〔米〕．
- 2 -
AE 1500
∵ DBHE ∽ DCFE ，得到 CF = CE ，
BH BE
- 2 -
3、〔1〕设购置甲种机器 x 台，则购置乙种机器〔6－x〕台。
由题意，得7x + 5(6 - x) £ 34 ，解这个不等式，得 x £ 2 ，
∴ BH =
BE · CF = 1200 ´ 300
CE 500
= 720 〔米〕．
- 2 -
∵ DABE ∽ DDGA ，∴ AB = AE ，
- 2 -
即 x 可以取 0、1、2 三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购置方案：
DG AD
- 2 -
∴ DG =
AB · AD = 900 ´1700 = 1020 〔米〕．
AE 1500
方案二：只买小包装．则需买包数为：
480
30
= 16
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所以， B、C、D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000〔元〕，300×800=240000〔元〕，1020×800=816000〔元〕
3、解：连结AC、EF
所以需买 1 6 包，所付费用为 1 6×20＝320(元)
方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装x 包．小包装 y 包． 所需费用为W 元。
则í
ì50x + 30 y = 480 10
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〔1〕∵太阳光线是平行线∴AC∥EF∴∠ACB=∠EFD
∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC∽△EDF
îW = 30x + 20
W = - x + 320 3
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∴ AB = BC ∴ AB =
ED DF
∴AB=
∵ 0 < 50x < 480，且 x 为正整数，
A
G α M
B m
h N
∴ x = 9 时，W = 290(元)．
- 2 -
答：大树AB 的高是 米．
〔2〕〔方法一〕
如图 MG=BN=m，AG=m tanα
∴AB=〔m tanα ＋h〕米
〔方法二〕
m
∴ AG =
最小
∴购置 9 包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少．为 290
元。
答：购置 9 包大包装瓷砖和l 包小包装瓷砖时，所付费用最少为 290
元。
A
G α
B
M
N
β
m
E
h F
3．解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x、y 元， 依据题意，得
- 2 -
í
cot b - cota
ì10x + 6 y = 51 ìx = 3
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m m tana tan b
î12 y - 8x = 18
解这个方程组，得 í
=
î y
- 2 -
∴AB= cot b - cota
＋h 或 AB= tana - tan b ＋h
∵>3，∴到甲供水点购置廉价一些。答：到甲供水点购置廉价一些。
4．解：〔1〕设 y = kx + b ，∵x＝4 时，y＝400；x＝5 时，y＝320．
- 2 -
提高训练
1、1。计分方案如下表：
∴ ì400 = 4k + b,
î
í320 = 5k + b.
解之，得ìk = -80,
í
îb = 720.
- 2 -
n(次)
1
2
3
4
5
6
7
8
M(分)
8
7
6
5
4
3
2
1
(2) 依据以上方案计算得 6 局竞赛，甲共得 24 分，乙共得分 23 分， 所以甲在这次竞赛中获胜
2、解：依据题意，可有三种购置方案；
480 48
方案一：只买大包装，则需买包数为： = ；
50 5
由于不拆包零卖．所以需买 10 包．所付费用为 30×10=300(元)
∴y 与x 的函数关系式为 y = -80x + 720 ．
该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000〔元〕，当 y＝380 时， 380 = -80x + 720 ，得 x＝,
该班学生集体饮用桶装纯洁水的每年总费用为 380×+780＝
2395(元),
明显，从经济上看饮用桶装纯洁水花钱少．
设该班每年购置纯洁水的费用为W 元，则
- 2 -
W ＝xy＝x〔－80x+720〕＝ -80( x - 9)2+1620 ，
2
依据题意，得ìx + y = 36,
- 2 -
∴当 x＝ 9 时，W
2
＝1620，
í
最大值
î6000x + 5000 y = 100000.
- 2 -
要使饮用桶装纯洁水对学生肯定合算，
解得ìx = -80, 经检验不符合题意，舍去；
- 2 -
í
则 50a≥W
+780，即 50a≥1620+780，
最大值
î y = 116.
- 2 -
解之，得 a≥48．
(注：如考生不列方程，直接推断(A，D)不合题意，舍去，也给 2 分)
- 2 -
习惯．
所以 a 至少为 48 元时班级饮用桶装纯洁水对学生肯定合算， 中选用方案〔A，Ｅ〕时，设购置A 型号、Ｅ型号电脑分别为x，y 台， 由此看出，饮用桶装纯洁水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好 依据题意，得
ìx + y = 36, ìx = 7,
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í
5．①A 品牌牛奶的主要竞争优势是质量好，由于对此品牌牛奶的质量满足的用户
最多，而对其广告、价格满足的用户不是最多。
î6000x + 2025 y = 100000.
解í
î y = 29.
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②广告对用户选择品牌有影响，由于对于 B、C 两种品牌的纯牛奶在质量和 所以期望中学购置了 7 台A 型号电脑．
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价格上顾客满足率是一样的，但由于B 品牌牛奶广告做得好，所以销量比
24 24
+
7、解：(1)设规定时间为x 天，则
= 16
- 2 -
C 品牌大。
③厂家 C 在提高质量和降低价格的同时，加大宣传力度，重视广告效用。
解之，得x =28，x =2．
1 2
2x + 4 2x - 16
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6 解：(1) 树状图如下： 列表如下：
经检验可知，x =28，x =2 都是原方程的根，但x =2 不合题意，舍去，取 x=28．
1 2 2
由 24<28 知，甲、乙两组合做可在规定时间内完成．
设甲、乙两组合做完成这项工程的5/6 用去y 天，
1 1 5
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则 y(
+ ) =
2 ´ 28 + 4 2 ´ 28 - 16 6
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有 6 种可能结果：(A，D)，〔A，E〕，〔B，D〕，
〔B，E〕，〔C，D〕，〔C，E〕．
由于选中A 型号电脑有 2 种方案，即(A，D)〔A，E〕，
所以 A 型电脑被选中的概率是1
3
由(2)可知，中选用方案〔A，D〕时， 设购置A 型号、D 型号电脑分别为x，y 台，
解之，得y=20(天)．
甲独做剩下工程所需时间：10(天)． 由于 20+l0=30>28，
所以甲独做剩下工程不能在规定时间内完成； 乙独做剩下工程所需时间：20/3(天)．
2
由于 20+20/3=26 <28，所以乙独做剩下工程能在规定时间内完成．
3
所以我认为抽调甲组最好．
8、
- 2 -
9．解：〔1〕设这家文具店的A 型毛笔零售价为每支x 元，B 型毛笔的零售价为每
ì 20x + 15 y + 25( y - ) = 145
î
支 y 元，则依据题意得： í20x + 20(x - ) + 15 y + 5( y - ) = 129
ìx = 2
=
解之得： í
î y 3
答：这家文具店 A 型毛笔的零售价为每支 2 元，B 型毛笔的零售价为每支 3
元
〔2〕假设安原来的销售方法购置a 支 A 型毛笔共需m 元则 m=20×2+(a -20)×(2 -)=+8
假设按的销售方法购置a 支 A 型毛笔共需n 元则 n=a×2×90%=
于是 n –m= –(+8)= -8
∵a>40， ∴>8， ∴n –m>0
可见，当a>40 时，用的方法购置得的A 型毛笔花钱多。答：用原来的方法购置花钱少。
- 2 -