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常数(chángshù)项级数的概念与性质
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为什么要研究无穷(wúqióng)级数
是进行数值计算(jì suàn)的有效工具(如计算(jì suàn)函数值、
出它的威力(wēilì).
在自然科学和工程技术中,
?
无穷级数是数和函数的一种表现形式.
因无穷级数中包含有许多非初等函数,
故它在积分运算和微分方程求解时,
也呈现
如谐波分析等.
造函数值表).
级数来分析问题,
也常用无穷
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常数项级数(jí shù)的概念
收敛级数(jí shù)的基本性质
柯西审敛原理(yuánlǐ)
小结 思考题 作业
第11章 无穷级数
constant term infinite series
常数项级数的概念和性质
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引例(yǐn lì)
依次(yīcì)作圆内接正
边形,
这个(zhè ge)和逼近于圆的面积 A .
即
设a0表示内接正三角形面积,
ak表示
边数增加时增加的面积,
则圆内接正
一、常数项级数的概念
用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
边形面积为
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1. 级数(jí shù)的定义
(常数(chángshù)项)无穷级数
一般(yībān)项
如
以上均为(常)数项级数.
(1)
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这样, 级数(1)对应一个部分(bù fen)和数列:
称无穷(wúqióng)级数(1)的
2. 级数的收敛与发散(fāsàn)概念
按通常的加法运算一项一项的加下去,
为级数(1)的
无穷级数定义式(1)的含义是什么?
也算不完,
永远
那么如何计算?
前n项和
部分和.
(1)
从无限到有限, 再从有限(近似)到无限(精确)
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部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.
定义(dìngyì)
则称无穷(wúqióng)级数
并写成
即
常数项级数(jí shù)收敛
(发散).
(不存在)
存在
当n无限增大时,
部分和数列sn有极限s,
如果sn没有极限,
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对收敛(shōuliǎn)级数(1),
为级数(jí shù)(1)的余项或余和.
显然(xiǎnrán)有
当n充分大时,
级数的敛散性它与部分和数列是否有极限
是等价的.
(1)
称差
误差为
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例
而
所以(suǒyǐ),
的部分(bù fen)和
级数(jí shù)
级数发散.
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解
(重要(zhòngyào))
例
讨论(tǎolùn)等比级数(几何级数)
的收敛性.
级数(jí shù)收敛;
因为
所以
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