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因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新
变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改
变积分限. 下面举例阐明.
§ 定积分计算办法
第五章知求函数原函数(即不定积分)办法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用这几种办法来计算定积分 .
关键在于求出ƒ(x)在[a, b]上一个原函数F(x); 而由
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例11 计算
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(1) 在[α,β]上单调连续且含有连续导数;
(2) (α)= a, (β)= b, 则
定理8 若ƒ(x)在[a, b]上连续, 而 x =(t) 又满足
证 设F(x)是ƒ(x)一个原函数,
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——此式称为定积分换元公式.
(3) 求出
在应用换元公式计算定积分时, 应注意下列几种问题:
(1) 所选择代换式x=(t)必须满足定理中两个条件;
(2) “上限对上限,下限对下限”;
求不定积分那样把 (t)还原成 x 函数, 而只须直接将 t
上、下限代入相减即可.
后,不必象
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例12 当 a > 0时, 计算
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注1 由几何意义知, 此定积分
即为圆
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在第Ι象限面积.
性质1 设ƒ(x)在[−a, a]上连续, 则
证
(1)若为ƒ(x)偶函数, 则有ƒ(x)=ƒ(− x)
令x = −t, 则 d x = −d t, 且
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从而
(2)若为ƒ(x)奇函数, 则有ƒ(x)=−ƒ(− x)
令x = −t, 则 d x = −d t, 且
从而
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注2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上
定积分计算.
例13 计算
解 (1) 被积函数为奇函数. 则原式= 0.
令x = tanu, 则
(2) 被积函数为偶函数, 故
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