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一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)
(1) 已知当时，与是等价无穷小，则( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(2) 已知在处可导，且，则=( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) 0．
(3) 函数的驻点个数为( )
(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．
(4) 微分方程的特解形式为( )
(A) ． (B) ．
(C) ． (D) ．
(5) 设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) (B)
(C) (D)
(6) 设，，，则的大小关系是( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(7) 设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
(8) 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组
的一个基础解系，则的基础解系可为( )
(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)
(9) ．
(10) 微分方程满足条件的解为．
(11) 曲线的弧长．
(12) 设函数则．
(13) 设平面区域由直线圆及轴围成，则二重积分．
(14) 二次型，则的正惯性指数为 ．
三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
(15) (本题满分10分)
已知函数，设试求的取值范围．
(16) (本题满分11分)
设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点．
(17) (本题满分9分)
设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求．
(18) (本题满分10分)
设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线
在点处切线的倾角，若求的表达式．
(19) (本题满分10分)
(I)证明：对任意的正整数n，都有 成立．
(II)设，证明数列收敛．
(20) (本题满分11分)
一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成的．
(I) 求容器的容积；
(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：，重力加速度为，水的密度为)．
图１
(21) (本题满分11分)
已知函数具有二阶连续偏导数，且，，，其中，计算二重积分．
(22) (本题满分11分)
设向量组，不能由向量组，，线性表示．
(I) 求的值；
(II) 将由线性表示．
(23) (本题满分11分)
为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．
(I) 求的特征值与特征向量；
(II) 求矩阵．
参考答案
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)
(1)【答案】(C)．
【解析】因为
．
所以，故答案选(C)．
(2)【答案】(B)．
【解析】
．
故答案选(B)．
(3)【答案】(C)．
【解析】
令，得，故有两个不同的驻点．
(4)【答案】(C)．
【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为，解得特征根．
所以非齐次方程有特解,
非齐次方程有特解，
故由微分方程解的结构可知非齐次方程可设特解
(5)【答案】(A)．
【解析】由题意有，
所以，，，即点是可能的极值点．
又因为，，，
所以，，，，
根据题意由为极小值点，可得且，所以有由题意，所以，故选(A)．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为时， ，
又因是单调递增的函数，所以．
故正确答案为(B)．
(7)【答案】 (D)．
【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵，故
，
即，．
由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故
，
即故．因此，，故选(D)．
(8)【答案】(D)．
【解析】由于是方程组的一个基础解系，所以，且，即，且．由此可得，即，这说明是的解．
由于，，所以线性无关．又由于，所以，因此的基础解系中含有个线性无关的解向量．而线性无关，且为的解，所以可作为的基础解系，故选(D)．
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)
(9)【答案】．
【解析】原式=．
(10)【答案】．
【解析】由通解公式得
．
由于故=0．所以．
(11)【解析】选取为参数，则弧微元
所以．
(12)【答案】．
【解析】原式
．
(13)【答案】．
【解析】原式
．
(14)【答案】2．
【解析】方法1：的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．
二次型对应矩阵为．
，
故．因此的正惯性指数为2．
方法2：的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．
，
令则，故的正惯性指数为2．
三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
(15) (本题满分10分)
【解析】如果时，，
显然与已知矛盾，故．
当时，又因为．
所以即．
又因为
所以，即，综合得．
(16) (本题满分11分)
【解析】因为，
令得，
当时，，，此时，所以为极小值．
当时，，，此时，所以为极大值．
令得，．
当时，，此时；当时，，此时．
所以曲线的凸区间为，凹区间为，拐点为．
(17) (本题满分9分)
【解析】
．
因为在可导，且为极值,所以，则
．
(18) (本题满分10分)
【解析】由题意可知当时，，，由导数的几何意义得,即，由题意，即 ．
令，，则，，即
，，即．
当，，代入得，所以 ，
则
．
又因为，所以．
(19) (本题满分10分)
【解析】(Ⅰ)设
显然在上满足拉格朗日的条件，
所以时，
，即：，
亦即：．
结论得证．
（II）设．
先证数列单调递减．
，
利用（I）的结论可以得到，所以得到，即数列单调递减．
再证数列有下界．
，
，
．
得到数列有下界．利用单调递减数列且有下界得到收敛．
(20) (本题满分11分)
【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分