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（文科）
-、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题H要求的一项）
1. (5 分)
设集合 A={x\^ - 2x - 3^0, xeR},集合B={x\-2^x<2},则 AQB=( )
A.
[-2,
-1]
B. [- 1，2)
C. [- 1,
1]
D・[1, 2)
2.
(5分)
(1+i) (2+i)=( )
A.
B. l+3i
C- 3+i
D- 3十3i
3.
（5分）对于非0向量；，& “：応=6‘是“；“心的（
C.
充分必耍条件
4.
(5分)
）的最小正周期为（
函数 f (x) =sin (
A.
B. 2兀
C. 71
（2x+3y-3< 0
5.
(5分)
设X, y满足约束条件2x-3y+3》0,则z=2x+y的最大值是
jH-3>0
A.
C. 1
D. 9
6.
（5分）
A.
已知兀,尹都是正数， 且则X+"的最小值等于（
x y
B. 4a/2
7.
(5分)
，BC=
A.
8.
A.
30°
（5分）
5
已知向量BA=（专,
C. 3+2a/2
,贝*（
C. 60°
D.
D. 4+2V2
120°
D.
兀
9.
(5分)
已知函数f （x） =Asin （亦+0）（/>0, 0>0, \（p\<-—的部分图象如图所示，则
函数f （x）的解析式为（ ）
A. f（x）=近sin（令x卑） 。二、Zin（罟x专）
C. f（x）=V2sin（-^-x4^-） D. f（x）二逅sin（-^-x号与
10. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几
何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该儿何体的体枳为（ ）
—
、
7
\
/
\
、
/
\
\
/
、
厂
A. 90兀 B. 63兀
C. 42ti
D・36兀
11.（5分）曲线厂斗1; •在点（1，
2x-l
1）处的切线方程为（
)
A. x - y - 2=0
B ・ x+y - 2=0
C. x+4厂 5=0
D. x - 4v - 5=0
12. （5分）已知△/BC是边长为2的等边三角形，P为平面/BC内一点，则莎•（莎■瓦）
的最小值是（ ）
3 d
A. - 2 B. C. D. - 1
2 3
二、填空题（每题5分，共20分）
（5分）设3= （1, 2）, b= （1, 1）, c=a^,则实数力的值等于 .
（5分）长方体的长、宽、高分别为3, 2, 1,其顶点都在球O的球面上，则球O的表
面积为 .
（5分）函数y=sinx - V3cosx的图象可由函数尸2sinx的图象至少向右平移 个单
位长度得到.
n I
（5分）等差数列仙｝的前"项和为S“，如=3, SEO,则V 于= .
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，〜21题为必考题,
、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分.
(12 分)己知函数 f (x) =4cosxsin (x
（【）求/（X）的最小正周期:
K 71
（II ）求f（X）在区间［ ,上的最大值和最小值.
（12分）在厶屮，角B, C所对的边分别为a, b, c,已知_cos（A：C）
c cosC
（1） 求角C的大小；
（2） 若c=2,求使△/3C面积最大时a, b的值.
（12分）已知等差数列仙｝的公差为2,且如,如+仇2, 2 （ai+t/4）成等比数列.
（1） 求数列｛如｝的通项公式；
（2） 设数列｛—^-｝的前〃项和为S”,求证：S“<6・
r>n-l
20. （ 12分）如图，四棱锥P・ABCD中，侧面PAD为等边三角形11垂直于底面ABCD,AB=BC=
—AD, ZBAD=ZABC=90°.
2
证明：直线BC〃平PAD；
若△PCQ面积为2荷，求四棱锥P - ABCD的体枳.
(12 分)设函数/(x) = (1 - x2) e\
讨论f (x)的单调性；
当xMO时，f (x) Wax+1,求a的取值范围.
(二)选考题：、，则按所做的第一 题计分.
(10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线Ci的极坐标方程为“cos扫4.
M为曲线G上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM・Q鬥=6 求点P的轨迹C2 的直角坐标方程；
JT
设点/的极坐标为(2,可)，点B在曲线C2上，求面积的最大值.
已知函数/ (x) =|2x-2|+g,
当“1时，求不等式/(x) <6的解集；
设函数g (x) =|2x・1|・当xWR时，f (x) +g (x) 20,求实数。的取值.
【参考答案】
一、选择题
A
【解析】T 集合 A={x\x2 - 2x - 3^0, xWR}={x|xW ・ 1 或 x$3},
集合 B={x|・2WxV2}, :.ADB={x\-2^x^ - 1}=[-2, - 1].故选：A.
B
【解析】原式=2 - l+3i=l+：B.
A
【解析】T a+b = 0=>b二-q a " b
反之，推不出，例如b=2ai^足两个向量平行但得到a+b = 0
所以a+b=O!ia //匸的充分不必要条件
故选A
C
JT 9JT
【解析】函数f (x) =sin (2x4--—)的最小正周期为：- =7r.
故选：C.
D
(2x+3y-3<0
【解析】由约束条件2x-3y+3》0作出可行域如图：
[尸3>0
联立(尸T ,解得/(6,・3)
(2x+3y-3=0
化z=2x+y为尸・2x+z,由图可知，当直线尸-2x+z过力时，直线在y轴上的截距最大，z
：D.
>=-3
z-2x^y
C
【解析】・・・兀，y都是正数，且2£i,
x y
.\x-^-y= (x+y) (―4^-) =3+X + 2y ^3+25/2>
x y y x
当且仅当—~-2y-W，x+y的最小值等于3+.
y x
A
【解析】
|BA|=|BC|=1；
二 cosZABC
二蘇•反护 ^IbaIIbcT 2
又 0°WZ/3CW180。； A ZABC=30°.故选 A・
D
【解析】J
1=_ ・1=¥・故选：D.
诒5
2
,cos2^=2cos2^ - 1=
1+tan2 9
A
【解析】(1)由题意a二yfi，r=i6,
兀
—,x=-2 时，f (x) =0,
8
艮卩：sin[-^-X ( - 2) +y]=0,, |^|<-—；・*.(p=—
8 2 4
函数/(x)的解析式为:f(X) =
故选A.
B
【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,
11- B
可得在点(1, 1)处的切线斜率为・1,
则所求切线的方程为y - 1= - (x - 1),即为x+y - 2=：B.
12. B
【解析】建立如图所示的坐标系，以屮点为坐标原点， 则昇(0,妬)，3(-1, 0), C (1, 0),
设 P (x,刃,贝i」PA= ( - x, V3~， PB=(・ 1 ・ x,・_y)， PC= (1 - x, ->0, 则 PA* (PB+PC) =2x2 - 2V3y4_2>,2=2[x2+(厂 2 ■—]
・••当x=0, 时,取得最小值2X ( ■手)=~ 故选：B
二、填空题
【解析】・・・a= (1, 2), 2 (1, 1),
/• C=a^-Ab= (1, 2) + (匕 k) = (1+Zs 2+丘),
故答案为：-m
14. 14兀
【解析】长方体的长、宽、高分别为3, 2, 1,英顶点都在球。的球面上,
可知长方体的对角线的长就是球的直径，
所以球的半径为：3^+2^+1
2兀=14兀.
则球0的表面积为：4X
故答案为:14tt.
兀
15,亏
【解析】・・・w辰w g今）, 令/ (x) =2sinx,
则/ (x - y) =2in (x - (p)(卩>0)，
兀
依题意可得 2sin (x-0)=2sin (x -
7T
故-(p=2kn (£GZ),
3 兀
即(p= - 2£兀+ (kGZ),
3
TT
当k=0时，正数处祜=玄
JT
故答案为：
n+1
【解析】等差数列｛外｝的前〃项和为S” a3=3, 54=10, S4=2 （a2+a3） =10,
可得02=2,数列的首项为1,公差为1,
o_n(n+l) 1 _ 2 _?zl _1 .
“ —'Sn n(n+l) h
则£話2［熄兮寺|寺..片需F2 （1 一禽）=書 故答案为：备 三、解答题
jr
：(I ) T/(x) =4cosxsin (x< - 1,
COSX) - 1
=4cosx
=V3sin2x+2cos2x - 1 =V3sin2x+cos2x
所以函数的最小正周期为兀;
(II ) •・・-—,
6 4
兀一 兀一 2兀
• • — W2x~—-—,
6 6 3
兀 7T 1T
•:当2x+-—即尸■ ■时,f (x)収最大值2,
6 2 6
TT IT TV
当2x+- —- - 时，即x= - =•时,f(X)取得最小值-1
6 6 6
b,
：（1） 中，角B, C所对的边分别为
cosC
已知2a+b =cos（A+C） 可得 2a+b _-cosB
c cosC
去分母得：2acosC+bcosC+ccosB=0, 则有 2gcosC+g=0,
即COSC二今'
••仔
（2）=yX abXsir）C=^ ab»
再根据余弦定理得：4=a2+b2+ab,
£Z2+Z）2=4 - ab22ab,
则那么 卑曲爭， 当且仅当a=b= 2*3时，△力BC面积最大.
：（1）数列｛為｝为等差数列,
所以：a亍a 1 +〃=a 1 +2, a^=a\+3 d=a i+6,
Ql，Q]+d2，2（4+血）成等比数列.
所以：（引+吧）2=2引（j + aq），解得：©=1
所以：an=\+2 (w - 1) =2n - 1,
证明：⑵已知希谒
冷+…毋①