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武昌区2018届高三年级元月调研考试
理科数学
本试卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上.
，答在本试题上无效.
，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B=
开始
输入a
x=2,n=2,k=0,s=0
输出s
结束
是
否
s=sx+a
k=k+1
A． B． C． D．
，则
A． B． C． D．
A． B． C．1 D．2
，如果输入的依次为2，2，5时，
输出的为17，那么在框中，可以填入
A. ？ B. ？
C. ？ D. ？
，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，
现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则5个剩余
8 7 7
9 3 0 9 x 1
分数的方差为
A． B．
C．6 D．30
、B、C是半径为1的圆O上的三点，且，则的最大值是
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A． B． C． D．1
，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的 体积为
A．
B．
C．
D．3
、右焦点，为双曲线的右支上的点，
以为圆心的圆与轴恰好相切于焦点，且点到该双曲线的两条渐近线的距离之比
为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
、、、是某球面上不共面的四点，且，，
，则此球的体积为
A． B． C． D．
（其中）平移后得到点.
若点在函数的图像上，则
A．，的最小值为 B. ，的最小值为
C．，的最小值为 D．，的最小值为
，若对任意正整数有成立，则的值为
A． B．1 C．或1 D．1或3
12. 函数在内既有极大值又有极小值，则的取值
范围是
A． B． C． D．
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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答。第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
，则 ．
，的系数是 ．
：的焦点的直线与抛物线C交于，两点，与其准线交于点，且，则 ．
，定义新序列，，且，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
在中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18．（12分）
如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB=2．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
P
A
B
C
（2）若PA=PC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
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19．（12分）
通过随机询问72名不同性别的大学生在购买包装食品时是否看营养说明，得到如下列联表：
性别与读营养说明列联表
男
女
总计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36[来源
36
72
（1）根据以上列联表判断，？
（2）从被询问的28名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生人数的分布列及数学期望．
附：
P（）
k
.
20．（12分）
已知椭圆C：经过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设、分别为椭圆C的左、右焦点，不经过的直线与椭圆C交于两个不同的点A，、、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围．
...
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21．（12分）
已知a为实常数，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），
（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：.
（二）选考题：、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0．已知直线l的参数方程为（为参数），点M的直角坐标为（1，0）.
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
（1）已知函数的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）若正实数满足，求的取值范围．
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武昌区2018届高三年级元月调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
B
C
A
D
A
A
C
C
D
二、填空题：
13. 2 14. 180 15. 16. 100
三、解答题：
17．（12分）
解析：（1）由正弦定理，知，
由，得，
化简，得，即.
因为，所以.
因为，所以. ......................................6分
（2）由余弦定理，得，即，
因为，，所以，，即.
所以，. ......................................12分
18．（12分）
...
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解析：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.
因为ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO=.
因为PA⊥PC，所以PO=.
因为PB=2，所以OP2+OB2==PB2，所以PO⊥OB.
因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.
P
A
B
C
又OB⊂平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC． ......................................6分
（2）因为PA=PB，BA=BC，所以≌.
过点A作于D，则.
所以为所求二面角A﹣PB﹣C 的平面角.
因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，所以.
在中，求得，同理.
在中，由余弦定理，得.
所以，二面角A﹣PB﹣C的余弦值为． ......................................12分
19．（12分）
解析：（1）由计算可得的观测值为．
因为，而
“性别与读营养说明之间有关系”.
......................................4分
（2）的取值为0，1，2.
，，.
的分布列为
0
1
2
的数学期望为. ......................................12分
20．（12分）
解析：（1）由题意，知考虑到，解得
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所以，所求椭圆C的方程为. ......................................4分
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，
整理得.
由，得. ①
设，，则，.
因为，所以，.
因为，且，，
所以.
因为直线AB：不过焦点，所以，
所以，从而，即. ②
由①②得，化简得. ③
焦点到直线：的距离.
令，由知.
于是.
考虑到函数在上单调递减，
所以，解得. ......................................12分
21．（12分）
解析：（1）.
当时，，函数在上单调递增；
...
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当时，由，得.
若，则，函数在上单调递增；
若，则，函数在上单调递减. .........................4分
（2）（ⅰ）由（1）知，当时，单调递增，没有两个不同的零点.
当时，在处取得极小值.
由，得.
易知，0<2+lna<2+2a，f0=e-2>0.
下证：时， f2a+2=e2a-2a2-2a>0
令φx=e2x-2x2-2x，x>1e
有φ'x=2(e2x-2x-1)≥0 （因ex≥x+1恒成立）
故φx>φ0=1>0
所以，f2a+2=e2a-2a2-2a>0
于是存在x1，x2，且0<x1<2+lna<x2<2+2a，使得fx1=fx2=0.
所以的取值范围为.
（ⅱ）由，得，即.
所以.
令，则.
当时，；当时，.
所以在递减，在递增，所以.
要证，只需证.
因为在递增，所以只需证.
因为，只需证，即证.
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令，，则.
因为，所以，即在上单调递减.
所以，即，
所以成立. ......................................12分
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解析：（1）∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
由消去，得.
∴直线l的直角坐标方程为． ......................................5分
（2）点M（1，0）在直线l上，
设直线l的参数方程（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2．
将l的参数方程代入y2=4x，得.
于是，.
∴. ......................................10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解析：（1）由题意知恒成立.
因为，
所以，解得或. ......................................5分
（2）因为（，
所以，
即的取值范围为． ......................................10分