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一、单项选择题
要求：从下列各题给出的四个选项中，选择一个最符合题意的答案。
1. 某班级40名学生的身高分布如下表所示：
| 身高范围（cm） | 人数 |
| --- | --- |
| 150-160 | 8 |
| 160-170 | 12 |
| 170-180 | 15 |
| 180-190 | 5 |
| 190-200 | 0 |
若要用一个正态分布来描述这个班级学生的身高分布，则其均值大约为（ ）
A. 167cm
B. 170cm
C. 173cm
D. 176cm
2. 下列关于指数函数的说法中，正确的是（ ）
A. 指数函数的图像总是过点（1，0）
B. 指数函数的图像总是过点（0，1）
C. 指数函数的图像总是单调递增的
D. 指数函数的图像总是单调递减的
3. 已知函数f(x) = a^x，若a > 1，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)的图像总是单调递增的
B. f(x)的图像总是单调递减的
C. f(x)的图像总是过点（1，0）
D. f(x)的图像总是过点（0，1）
二、解答题
要求：解答下列各题，写出解题过程。
4. 已知某城市的气温分布如下表所示：
| 月份 | 平均气温（℃） |
| --- | --- |
| 1月 | 0 |
| 2月 | 3 |
| 3月 | 6 |
| 4月 | 9 |
| 5月 | 12 |
| 6月 | 15 |
| 7月 | 18 |
| 8月 | 20 |
| 9月 | 18 |
| 10月 | 15 |
| 11月 | 12 |
| 12月 | 9 |
（1）请用散点图表示这个城市一年中各月的平均气温；
（2）请用线性回归方法，求出该城市平均气温与月份之间的关系式；
（3）预测该城市在2025年1月的平均气温。
5. 已知某商品的价格与需求量之间的关系如下：
| 价格（元/件） | 需求量（件） |
| --- | --- |
| 10 | 100 |
| 20 | 80 |
| 30 | 60 |
| 40 | 40 |
| 50 | 20 |
（1）请用散点图表示这个商品的价格与需求量之间的关系；
（2）请用线性回归方法，求出这个商品的价格与需求量之间的关系式；
（3）预测当这个商品的价格为60元/件时，需求量为多少件？
四、应用题
要求：根据所给信息，完成以下任务。
6. 某公司生产一种新产品，其成本函数为C(x) = 2000 + 10x，其中x为生产的数量（件）。市场需求函数为Q(x) = 500 - 2x，其中x为价格（元/件）。
（1）求该产品的最优定价策略，使得公司利润最大化。利润函数为P(x) = Q(x) * x - C(x)；
（2）如果公司希望利润至少达到20000元，那么至少需要生产多少件产品？
五、论述题
要求：结合所学知识，论述以下问题。
7. 论述线性回归模型在实际应用中的优势和局限性。
六、证明题
要求：证明以下结论。
8. 证明：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = -b/2a处取得极值，则f''(-b/2a) = 0。
本次试卷答案如下：
一、单项选择题
1. B
解析：正态分布的均值即为分布的中心位置，根据表格中身高范围的中点值计算，150-160cm的中点为155cm，160-170cm的中点为165cm，170-180cm的中点为175cm，180-190cm的中点为185cm，由于170-180cm的人数最多，故均值大约为175cm。
2. C
解析：指数函数的图像总是单调递增的，因为指数函数的底数大于1时，随着x的增加，f(x)的值也会增加。
3. A
解析：当a > 1时，指数函数f(x) = a^x的图像总是单调递增的，因为指数函数的导数始终为正。
二、解答题
4.
（1）根据所给数据，绘制散点图，横轴为月份，纵轴为平均气温。
（2）使用线性回归方法，将月份作为自变量，平均气温作为因变量，进行拟合，得到关系式。例如，线性回归方程为y = + 。
（3）将2025年1月（x = 1）代入关系式，得到预测的平均气温y = * 1 + = 3℃。
5.
（1）根据所给数据，绘制散点图，横轴为价格（元/件），纵轴为需求量（件）。
（2）使用线性回归方法，将价格作为自变量，需求量作为因变量，进行拟合，得到关系式。例如，线性回归方程为y = -40x + 400。
（3）将价格60元/件代入关系式，得到需求量y = -40 * 60 + 400 = 40件。
四、应用题
6.
（1）利润函数P(x) = Q(x) * x - C(x) = (500 - 2x) * x - (2000 + 10x) = 500x - 2x^2 - 2000 - 10x = -2x^2 + 490x - 2000。
为了最大化利润，需要找到利润函数的极值点。对利润函数求导得到P'(x) = -4x + 490，令P'(x) = 0，解得x = 。由于二次函数开口向下，x = ，。
（2）将利润函数设置为20000，得到方程-2x^2 + 490x - 2000 = 20000，化简得-2x^2 + 490x - 22000 = 0。解这个一元二次方程，得到x = 100或x = 220。由于生产数量不能为负数，所以至少需要生产100件产品。
五、论述题
7. 线性回归模型的优势：
- 简单易懂，易于解释；
- 拟合效果好，可以描述变量之间的线性关系；
- 可以用于预测和决策。
线性回归模型的局限性：
- 假设线性关系成立，可能不适用于非线性关系；
- 对异常值敏感，可能会影响模型的稳定性；
- 可能存在多重共线性问题，导致参数估计不准确。
六、证明题
8. 证明：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = -b/2a处取得极值，则f''(-b/2a) = 0。
证明：已知f(x) = ax^2 + bx + c，对其求导得到f'(x) = 2ax + b。由于在x = -b/2a处取得极值，所以f'(-b/2a) = 0，代入得到2a(-b/2a) + b = 0，即-b + b = 0。
再次对f(x)求导得到f''(x) = 2a。将x = -b/2a代入f''(x)，得到f''(-b/2a) = 2a。由于f'(-b/2a) = 0，说明在x = -b/2a处f'(x)的导数为0，即f''(-b/2a) = 0。