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一、单项选择题
要求：请从下列选项中选择一个正确答案。
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，则函数的极值点为：
A. \( x = 1 \)
B. \( x = 2 \)
C. \( x = 3 \)
D. \( x = 4 \)
2. 若函数 \( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \) 的图像在区间 \([0, 2]\) 上是上升的，则 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \) 在该区间内的符号为：
A. 总是大于0
B. 总是小于0
C. 有时大于0，有时小于0
D. 无法确定
3. 函数 \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) 的导数 \( f'(x) \) 等于：
A. \( \cos(x) - \sin(x) \)
B. \( \sin(x) + \cos(x) \)
C. \( \sin(x) - \cos(x) \)
D. \( \cos(x) + \sin(x) \)
4. 设 \( f(x) = \sqrt{x} \)，则 \( f'(4) \) 等于：
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. 4
5. 若 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处可导，且 \( f(a) = 0 \)，则 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的切线斜率为：
A. 0
B. 1
C. 无法确定
D. 不存在
二、多项选择题
要求：请从下列选项中选择所有正确答案。
6. 下列函数在定义域内可导的是：
A. \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} \)
B. \( f(x) = |x| \)
C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
D. \( f(x) = e^x \)
7. 下列函数的导数等于 \( 2x \) 的是：
A. \( f(x) = x^2 \)
B. \( f(x) = x^3 \)
C. \( f(x) = x^4 \)
D. \( f(x) = x^5 \)
8. 下列函数的导数等于 \( \cos(x) \) 的是：
A. \( f(x) = \sin(x) \)
B. \( f(x) = \cos(x) \)
C. \( f(x) = -\sin(x) \)
D. \( f(x) = -\cos(x) \)
三、解答题
要求：请用完整的数学语言和步骤来解答下列问题。
9. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，求：
（1）函数的导数 \( f'(x) \)；
（2）函数的极值点及对应的极值；
（3）函数的单调区间。
10. 设函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，求：
（1）函数的定义域；
（2）函数的导数 \( f'(x) \)；
（3）函数的极值点及对应的极值。
四、函数图像分析题
要求：根据下列函数的图像，回答问题。
11. 函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点坐标为 \( (h, k) \)。若 \( f(0) = 1 \) 且 \( f(1) = 3 \)，求 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的值。
12. 函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 的图像是一条双曲线，其渐近线为 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)。求 \( g(x) \) 在 \( x = 2 \) 处的切线方程。
13. 函数 \( h(x) = \sin(x) \) 的图像在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处有一个局部极大值。求 \( h(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处的切线斜率。
五、应用题
要求：运用导数解决实际问题。
14. 一家公司生产某种产品的成本函数为 \( C(x) = 1000 + 20x + ^2 \)，其中 \( x \) 是生产的数量。求：
（1）当生产 \( 100 \) 件产品时的总成本；
（2）当生产 \( 100 \) 件产品时的平均成本；
（3）当生产 \( 100 \) 件产品时的边际成本。
15. 一辆汽车以 \( 60 \) 公里/小时的速度行驶，突然刹车，刹车过程中汽车的加速度为 \( -4 \) 米/秒²。求：
（1）汽车从刹车到停止所需的时间；
（2）汽车在刹车过程中行驶的距离。
六、证明题
要求：证明下列等式。
16. 证明：对于任意实数 \( x \)，有 \( (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \)。
17. 证明：若函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \( f(a) = f(b) \)，则存在 \( c \in (a, b) \)，使得 \( f'(c) = 0 \)。
18. 证明：对于任意实数 \( x \)，有 \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)。
本次试卷答案如下：
一、单项选择题
1. 答案：A
解析：对 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 求导得 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \)。
2. 答案：A
解析：函数 \( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \) 的导数 \( f'(x) = 6x - 4 \)，在区间 \([0, 2]\) 上，\( f'(x) \) 总是大于0。
3. 答案：C
解析：函数 \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) 的导数 \( f'(x) = \cos(x) - \sin(x) \)。
4. 答案：B
解析：函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数 \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)，代入 \( x = 4 \) 得 \( f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} \)。
5. 答案：A
解析：由于 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处可导，根据导数的定义，切线斜率为 \( f'(a) \)。因为 \( f(a) = 0 \)，所以切线斜率为 \( f'(a) \)。
二、多项选择题
6. 答案：A, C, D
解析：函数 \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} \) 在 \( x \geq 0 \) 时可导，\( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x \neq 0 \) 时可导，\( f(x) = e^x \) 在整个实数域内可导。
7. 答案：A, C
解析：函数 \( f(x) = x^2 \) 的导数 \( f'(x) = 2x \)，\( f(x) = x^4 \) 的导数 \( f'(x) = 4x^3 \)，这两者的导数不等于 \( 2x \)。
8. 答案：A, B
解析：函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的导数 \( f'(x) = \cos(x) \)，\( f(x) = \cos(x) \) 的导数 \( f'(x) = -\sin(x) \)。
三、解答题
9. 答案：
（1）\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)
（2）极值点：\( x = 1 \) 和 \( x = 2 \)，极值分别为 \( f(1) = 1 \) 和 \( f(2) = 1 \)
（3）单调区间：\( (-\infty, 1) \) 和 \( (2, +\infty) \) 为上升区间，\( (1, 2) \) 为下降区间。
10. 答案：
（1）定义域：\( x \neq 1 \)
（2）\( f'(x) = \frac{2x}{(x - 1)^2} \)
（3）极值点：\( x = 1 \)，极值为 \( f(1) = 0 \)
四、函数图像分析题
11. 答案：
\( a = 1 \)，\( b = -4 \)，\( c = 2 \)
解析：由于 \( f(x) \) 的顶点为 \( (h, k) \)，所以 \( h = \frac{-b}{2a} \)，\( k = f(h) \)。代入 \( f(0) = 1 \) 和 \( f(1) = 3 \) 求解。
12. 答案：
切线方程：\( y = -\frac{1}{2}x + 1 \)
解析：切线斜率 \( f'(2) = -\frac{1}{2} \)，切线方程为 \( y - g(2) = f'(2)(x - 2) \)。
13. 答案：
切线斜率：\( f'( \frac{\pi}{2} ) = 0 \)
解析：由于 \( h(x) = \sin(x) \) 在 \( x = \frac{\pi}{2} \) 处有极大值，切线斜率为0。
五、应用题
14. 答案：
（1）总成本：\( C(100) = 1000 + 20 \times 100 + \times 100^2 = 8000 \) 元
（2）平均成本：\( \frac{C(100)}{100} = 80 \) 元
（3）边际成本：\( C'(x) = 20 + x \)，\( C'(100) = 120 \) 元
15. 答案：
（1）所需时间：\( t = \frac{v}{a} = \frac{60}{-4} = -15 \) 秒（取正值，即15秒）
（2）行驶距离：\( s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times (-4) \times 15^2 = -450 \) 米（取正值，即450米）
六、证明题
16. 答案：
证明：展开左边得 \( (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \)，右边也是 \( x^4 + 2x^2 + 1 \)，两边相等。
17. 答案：
证明：根据罗尔定理，存在 \( c \in (a, b) \)，使得 \( f'(c) = 0 \)。
18. 答案：
证明：由于 \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) 是三角恒等式，所以该等式成立。