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一、单项选择题
要求：在下列各题中，只有一个选项是正确的，请将其选出。
1. 若单项式\( a^2b^3c^4 \)的系数为1，那么\( a \)的指数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若\( (2x - 3y)^2 \)展开后，\( x^2 \)的系数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 下列各式中，能合并同类项的是（ ）
A. \( 3x^2 + 2x^2y \) B. \( 4x^3 - 5x^3 \) C. \( 6xy^2 - 3x^2y \) D. \( 7x^2y - 8xy^2 \)
4. 下列各式中，最简整式是（ ）
A. \( 3x^2 + 2xy - 4y^2 \) B. \( 5x^2y - 2x^2y^2 \) C. \( 6xy^3 - 3xy^2 \) D. \( 4x^3 - 2x^2y \)
5. 若\( (x + 2y)^3 \)展开后，\( x^2y \)的系数是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
二、填空题
要求：将正确的答案填入空格中。
1. 若\( (a - 2b)^3 \)展开后，\( a^2b \)的系数是______。
2. 若\( (x^2 - 3xy + 2y^2) \)展开后，\( x^3 \)的系数是______。
3. 下列各式中，\( x^2y \)的系数最大的是______。
4. 若\( (2x - 3y)^2 \)展开后，\( xy \)的系数是______。
5. 下列各式中，\( x^2y^3 \)的系数最小的是______。
三、解答题
要求：请根据题目要求，写出完整的解题过程。
1. 计算下列各式的值：
（1）\( (2x - 3y)^2 \)
（2）\( (3a - 2b)^3 \)
（3）\( (4x^2 - 3xy + 2y^2)^2 \)
2. 简化下列各式：
（1）\( 3x^2 + 2xy - 4y^2 \)
（2）\( 5x^3 - 2x^2y \)
（3）\( 6xy^3 - 3xy^2 \)
3. 求下列各式的值：
（1）\( (2x - 3y)^2 \)中，\( x \)的系数是______。
（2）\( (3a - 2b)^3 \)中，\( b \)的系数是______。
（3）\( (4x^2 - 3xy + 2y^2)^2 \)中，\( x^2y \)的系数是______。
四、应用题
要求：结合实际情境，运用整式运算解决下列问题。
1. 小明有一块长方形的地，长是8米，宽是5米。他想将这块地分割成若干个边长为1米的正方形小地块，问小明最多能分割成多少个正方形小地块？
2. 一辆汽车行驶了3小时，速度是60千米/小时，求这辆汽车行驶的总路程。
3. 小华买了一本书，原价为45元，打折后优惠了10%，求小华实际支付的金额。
五、选择题
要求：在下列各题中，只有一个选项是正确的，请将其选出。
1. 下列各式中，最简整式是（ ）
A. \( 3x^2 + 2xy - 4y^2 \) B. \( 5x^2y - 2x^2y^2 \) C. \( 6xy^3 - 3xy^2 \) D. \( 4x^3 - 2x^2y \)
2. 若\( (x + 2y)^3 \)展开后，\( x^2y \)的系数是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
3. 下列各式中，\( x^2y \)的系数最大的是（ ）
A. \( 3x^2y \) B. \( 5xy^2 \) C. \( 6xy^3 \) D. \( 4x^2y \)
4. 若\( (2x - 3y)^2 \)展开后，\( xy \)的系数是（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
5. 下列各式中，\( x^2y^3 \)的系数最小的是（ ）
A. \( x^2y^3 \) B. \( 2x^2y^3 \) C. \( 3x^2y^3 \) D. \( 4x^2y^3 \)
六、证明题
要求：写出证明过程，证明下列等式成立。
1. 证明：\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
2. 证明：\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
3. 证明：\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
本次试卷答案如下：
一、单项选择题
1. A
解析：单项式\( a^2b^3c^4 \)中，\( a \)的指数是2。
2. B
解析：\( (2x - 3y)^2 \)展开后，\( x^2 \)的系数是\( 2^2 \times (-3)^0 = 4 \)。
3. B
解析：\( 4x^3 - 5x^3 \)是同类项，可以合并。
4. A
解析：\( 3x^2 + 2xy - 4y^2 \)是最简整式，因为它没有可以合并的同类项。
5. C
解析：\( (x + 2y)^3 \)展开后，\( x^2y \)的系数是\( 3 \times 1 \times 2^2 = 12 \)。
二、填空题
1. 6
解析：\( (a - 2b)^3 \)展开后，\( a^2b \)的系数是\( -3 \times 2 \times (-2)^2 = 6 \)。
2. 0
解析：\( (x^2 - 3xy + 2y^2) \)展开后，\( x^3 \)的系数是0，因为没有\( x^3 \)的项。
3. 5xy^2
解析：\( 5xy^2 \)的系数最大，因为其他选项的系数都是1。
4. 6
解析：\( (2x - 3y)^2 \)展开后，\( xy \)的系数是\( 2 \times (-3) \times 2 = -12 \)，但题目要求的是绝对值，所以是6。
5. 4x^2y^3
解析：\( 4x^2y^3 \)的系数最小，因为其他选项的系数都是正数。
三、解答题
1. 计算下列各式的值：
（1）\( (2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2 \)
（2）\( (3a - 2b)^3 = 27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3 \)
（3）\( (4x^2 - 3xy + 2y^2)^2 = 16x^4 - 24x^3y + 12x^2y^2 + 9xy^3 - 12x^2y^2 + 4y^4 \)
2. 简化下列各式：
（1）\( 3x^2 + 2xy - 4y^2 \)已经是最简整式，无需简化。
（2）\( 5x^3 - 2x^2y \)已经是最简整式，无需简化。
（3）\( 6xy^3 - 3xy^2 \)已经是最简整式，无需简化。
3. 求下列各式的值：
（1）\( (2x - 3y)^2 \)中，\( x \)的系数是\( 2 \times 2 = 4 \)。
（2）\( (3a - 2b)^3 \)中，\( b \)的系数是\( -3 \times 2 \times (-2) = 12 \)。
（3）\( (4x^2 - 3xy + 2y^2)^2 \)中，\( x^2y \)的系数是\( -12 \)。
四、应用题
1. 小明最多能分割成40个正方形小地块。
解析：长方形地的面积是\( 8 \times 5 = 40 \)平方米，每个正方形小地块的面积是1平方米，所以最多能分割成40个。
2. 这辆汽车行驶的总路程是180千米。
解析：路程\( = \)速度\( \times \)时间，\( = 60 \times 3 = 180 \)千米。
3. 。
解析：原价\( \times \)(1 - 折扣率) = 实际支付金额，\( = 45 \times (1 - ) = \)元。
五、选择题
1. A
解析：\( 3x^2 + 2xy - 4y^2 \)是最简整式，因为它没有可以合并的同类项。
2. C
解析：\( (x + 2y)^3 \)展开后，\( x^2y \)的系数是\( 3 \times 1 \times 2^2 = 12 \)。
3. B
解析：\( 5xy^2 \)的系数最大，因为其他选项的系数都是1。
4. D
解析：\( (2x - 3y)^2 \)展开后，\( xy \)的系数是\( 2 \times (-3) \times 2 = -12 \)，但题目要求的是绝对值，所以是12。
5. A
解析：\( x^2y^3 \)的系数最小，因为其他选项的系数都是正数。
六、证明题
1. 证明：\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
解析：\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
2. 证明：\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
解析：\( (a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
3. 证明：\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
解析：\( (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 \)