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一、填空题
要求：根据所学知识，填写下列各题中的空格。
1. 在数论中，若一个自然数 \( n \) 满足 \( n = 3^a \cdot 5^b \cdot 7^c \)，其中 \( a, b, c \) 均为非负整数，则 \( n \) 的约数个数是 _______。
2. 设 \( m \) 是一个奇素数，且 \( m \) 能整除 \( 2^{m-1} - 1 \)，则 \( m \) 可能的取值是 _______。
二、选择题
要求：从下列各题的四个选项中，选出正确的一个。
1. 下列哪个数是素数？
A. 15
B. 17
C. 18
D. 20
2. 在下列数中，哪个数是合数？
A. 7
B. 11
C. 13
D. 14
三、解答题
要求：根据所学知识，解答下列各题。
1. 设 \( p \) 是一个奇素数，证明：对于任意整数 \( n \)，\( n^p - n \) 是 \( p \) 的倍数。
2. 设 \( a, b, c \) 是三个正整数，且 \( a \cdot b \cdot c = 27 \)，求 \( a + b + c \) 的最大值。
四、证明题
要求：证明下列各题中的命题。
1. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^2 + n \) 是偶数。
2. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 2^n - 1 \) 是 \( 2 \) 的倍数当且仅当 \( n \) 是偶数。
五、应用题
要求：应用所学知识解决实际问题。
1. 某商品的原价为 \( 200 \) 元，现进行 \( m \) 折优惠，再打 \( n \) 折，求该商品的实际售价。
2. 一个正方体木块的棱长为 \( a \)，现将其切割成若干个相同的小正方体，每个小正方体的棱长为 \( b \)，求原正方体木块的体积与切割后小正方体体积之和。
六、综合题
要求：综合运用所学知识解决综合问题。
1. 设 \( p \) 和 \( q \) 是两个不同的素数，且 \( p \cdot q = 35 \)，求 \( p \) 和 \( q \) 的值。
2. 设 \( a, b, c \) 是三个整数，且 \( a^2 + b^2 + c^2 = 13 \)，\( ab + bc + ca = 6 \)，求 \( a + b + c \) 的可能值。
本次试卷答案如下：
一、填空题
1. 在数论中，若一个自然数 \( n \) 满足 \( n = 3^a \cdot 5^b \cdot 7^c \)，其中 \( a, b, c \) 均为非负整数，则 \( n \) 的约数个数是 \( (a+1)(b+1)(c+1) \)。
解析思路：一个数的约数个数可以通过将该数分解为其质因数，然后将每个质因数的指数加一，并将这些值相乘得到。因此，对于 \( n = 3^a \cdot 5^b \cdot 7^c \)，其约数个数为 \( (a+1)(b+1)(c+1) \)。
2. 设 \( m \) 是一个奇素数，且 \( m \) 能整除 \( 2^{m-1} - 1 \)，则 \( m \) 可能的取值是 \( 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 \)。
解析思路：根据费马小定理，如果 \( p \) 是一个素数，那么对于任意整数 \( a \)，\( a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \)。因此，如果 \( m \) 是一个奇素数，那么 \( 2^{m-1} \equiv 1 \pmod{m} \)，即 \( m \) 能整除 \( 2^{m-1} - 1 \)。根据这个性质，可以找到所有满足条件的 \( m \) 值。
二、选择题
1. 下列哪个数是素数？
答案：B. 17
解析思路：素数定义为只有两个正因数（1和它本身）的自然数。选项中只有17满足这个条件。
2. 在下列数中，哪个数是合数？
答案：D. 14
解析思路：合数定义为除了1和它本身外，还有其他正因数的自然数。选项中只有14满足这个条件。
三、解答题
1. 设 \( p \) 是一个奇素数，证明：对于任意整数 \( n \)，\( n^p - n \) 是 \( p \) 的倍数。
解析思路：使用费马小定理，\( n^p \equiv n \pmod{p} \)。因此，\( n^p - n \equiv 0 \pmod{p} \)，即 \( n^p - n \) 是 \( p \) 的倍数。
2. 设 \( a, b, c \) 是三个正整数，且 \( a \cdot b \cdot c = 27 \)，求 \( a + b + c \) 的最大值。
解析思路：因为 \( a, b, c \) 是正整数，且它们的乘积为27，可以尝试将27分解为三个正整数的乘积。最大的三个正整数的乘积将给出最大的和。因此，\( a = 3, b = 3, c = 3 \)，所以 \( a + b + c = 9 \)。
四、证明题
1. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^2 + n \) 是偶数。
解析思路：考虑 \( n \) 是偶数和 \( n \) 是奇数两种情况。如果 \( n \) 是偶数，那么 \( n^2 \) 也是偶数，因此 \( n^2 + n \) 是偶数。如果 \( n \) 是奇数，那么 \( n^2 \) 是奇数，\( n \) 也是奇数，奇数加奇数是偶数，因此 \( n^2 + n \) 也是偶数。
2. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 2^n - 1 \) 是 \( 2 \) 的倍数当且仅当 \( n \) 是偶数。
解析思路：使用数学归纳法。对于基础情况，当 \( n = 1 \) 时，\( 2^n - 1 = 1 \)，不是 \( 2 \) 的倍数。假设对于某个偶数 \( k \)，\( 2^k - 1 \) 是 \( 2 \) 的倍数，即 \( 2^k - 1 = 2m \)。那么对于 \( k+1 \)，有 \( 2^{k+1} - 1 = 2 \cdot 2^k - 1 = 2(2m + 1) - 1 = 2m + 2 - 1 = 2m + 1 \)，也是 \( 2 \) 的倍数。因此，对于所有偶数 \( n \)，\( 2^n - 1 \) 是 \( 2 \) 的倍数。
五、应用题
1. 某商品的原价为 \( 200 \) 元，现进行 \( m \) 折优惠，再打 \( n \) 折，求该商品的实际售价。
解析思路：首先计算 \( m \) 折后的价格，即 \( 200 \times \frac{m}{10} \)，然后计算 \( n \) 折后的价格，即 \( 200 \times \frac{m}{10} \times \frac{n}{10} \)。
2. 一个正方体木块的棱长为 \( a \)，现将其切割成若干个相同的小正方体，每个小正方体的棱长为 \( b \)，求原正方体木块的体积与切割后小正方体体积之和。
解析思路：原正方体的体积是 \( a^3 \)，切割后的小正方体数量是 \( \frac{a^3}{b^3} \)，每个小正方体的体积是 \( b^3 \)，所以切割后小正方体的总体积是 \( \frac{a^3}{b^3} \times b^3 = a^3 \)。因此，原正方体木块的体积与切割后小正方体体积之和是 \( a^3 + a^3 = 2a^3 \)。
六、综合题
1. 设 \( p \) 和 \( q \) 是两个不同的素数，且 \( p \cdot q = 35 \)，求 \( p \) 和 \( q \) 的值。
解析思路：将35分解为两个不同的素数的乘积，可以找到 \( p \) 和 \( q \) 的值，即 \( p = 5 \) 和 \( q = 7 \)。
2. 设 \( a, b, c \) 是三个整数，且 \( a^2 + b^2 + c^2 = 13 \)，\( ab + bc + ca = 6 \)，求 \( a + b + c \) 的可能值。
解析思路：使用平方和公式 \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \)，代入已知条件得到 \( (a + b + c)^2 = 13 + 2 \times 6 = 25 \)。因此，\( a + b + c \) 的可能值是 \( \pm 5 \)。