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一、几何证明
要求：运用几何知识，证明以下几何命题。
1. 已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AD上的一点，且BE=BD。证明：∠AEB=∠AED。
2. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（3，4），点C（5，6）。求证：三角形ABC是等腰直角三角形。
3. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），点B（-2，1）。求证：以OA为直径的圆与以OB为直径的圆相切。
4. 在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（4，5），点C（6，7）。求证：直线BC的中垂线与直线AB的交点D在直线AC上。
5. 在平面直角坐标系中，点A（0，1），点B（1，0），点C（0，-1）。求证：三角形ABC是等边三角形。
二、组合分析
要求：运用组合知识，解决以下问题。
1. 从数字1到9中任取3个不同的数字，组成一个三位数。求这个三位数的最大值和最小值。
2. 从数字1到10中任取5个不同的数字，组成一个五位数。求这个五位数的最大值和最小值。
3. 从数字1到12中任取6个不同的数字，组成一个六位数。求这个六位数的最大值和最小值。
4. 从数字1到15中任取7个不同的数字，组成一个七位数。求这个七位数的最大值和最小值。
5. 从数字1到20中任取8个不同的数字，组成一个八位数。求这个八位数的最大值和最小值。
三、几何证明与组合分析综合题
要求：运用几何和组合知识，解决以下问题。
1. 在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（4，5），点C（6，7）。求证：以AB为直径的圆与以AC为直径的圆相交于点D，且AD=CD。
2. 从数字1到10中任取4个不同的数字，组成一个四位数。求这个四位数的最大值和最小值。
3. 在平面直角坐标系中，点A（0，1），点B（1，0），点C（0，-1）。求证：三角形ABC是等边三角形，且∠ABC=120°。
4. 从数字1到15中任取5个不同的数字，组成一个五位数。求这个五位数的最大值和最小值。
5. 在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（4，5），点C（6，7）。求证：以AB为直径的圆与以AC为直径的圆相切于点D。
四、几何构造与性质
要求：根据给定条件，构造几何图形并证明其性质。
1. 在平面直角坐标系中，点A（0，0），点B（4，0），点C（0，3）。构造一个点D，使得三角形ABD和三角形ACD都是等腰三角形，并证明点D的坐标。
2. 已知等边三角形ABC的边长为6，点D在边BC上，且BD=4。构造一个点E在边AC上，使得三角形AED是直角三角形，并证明点E的位置。
3. 在平面直角坐标系中，点A（-2，0），点B（2，0），点C（0，2）。构造一个点D在直线AB上，使得三角形ABC和三角形ABD的面积之比为2：1，并证明点D的坐标。
五、组合计数与概率
要求：运用组合计数和概率知识，计算以下问题。
1. 从5个不同的字母中任取3个，求取出的字母可以组成的不同三个字母的排列数。
2. 在一个装有10个红球和15个蓝球的袋子里，随机取出3个球，求取出的球中至少有1个红球的概率。
3. 一个班级有30名学生，其中有18名女生和12名男生。随机选取3名学生参加比赛，求选出的3名学生都是女生的概率。
4. 从1到9中任取3个不同的数字，求这三个数字组成的两位数大于40的概率。
5. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出2个球，求取出的球中至少有1个红球的概率。
六、几何图形的面积与体积
要求：计算给定几何图形的面积或体积。
1. 已知一个等腰直角三角形的腰长为10，求该三角形的面积。
2. 一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，求该长方体的体积。
3. 一个圆柱的底面半径为5cm，高为10cm，求该圆柱的体积。
4. 一个圆锥的底面半径为8cm，高为12cm，求该圆锥的体积。
5. 一个球体的半径为7cm，求该球体的表面积。
本次试卷答案如下：
一、几何证明
1. 证明：连接BE和DE，由等腰三角形的性质，得∠ABE=∠AEB，∠CDE=∠DEB。又因为BD=BE，所以∠ABD=∠EBD。在△ABD和△EBD中，AB=AC，BD=BE，∠ABD=∠EBD，根据SAS准则，得△ABD≌△EBD，从而∠AED=∠AEB。
2. 解析：计算AB、BC、AC的长度，发现AB=√((3-1)²+(4-2)²)=√(2²+2²)=2√2，BC=√((5-3)²+(6-4)²)=√(2²+2²)=2√2，AC=√((5-1)²+(6-2)²)=√(4²+4²)=4√2。因为AB=BC，所以三角形ABC是等腰直角三角形。
3. 解析：圆心O到直线AB的距离等于OA的长度，即3。圆心O到直线OB的距离等于OB的长度，即2。因为两个圆的半径之和等于它们之间的距离，所以两个圆相切。
4. 解析：连接AD和CD，由中垂线的性质，得AD垂直于BC，CD垂直于BC。因此，AD和CD相交于BC的中点，即D点。由于AB=AC，所以D点在AC上。
5. 解析：连接OA、OB和OC，由坐标可知，OA=OB=OC，所以三角形ABC是等边三角形。由于点B在x轴上，点C在y轴上，所以∠ABC=120°。
二、组合分析
1. 解析：最大值由最大的三个数字组成，即987；最小值由最小的三个数字组成，即123。
2. 解析：最大值由最大的五个数字组成，即98765；最小值由最小的五个数字组成，即12345。
3. 解析：最大值由最大的六个数字组成，即987654；最小值由最小的六个数字组成，即123456。
4. 解析：最大值由最大的七个数字组成，即9876543；最小值由最小的七个数字组成，即1234567。
5. 解析：最大值由最大的八个数字组成，即98765432；最小值由最小的八个数字组成，即12345678。
三、几何证明与组合分析综合题
1. 解析：连接AD和CD，由等腰三角形的性质，得AD=CD。因为AB=AC，所以AD=CD=AB/2。因此，△ABD和△ACD都是等腰三角形，且它们的直径相等，所以它们相交于点D，且AD=CD。
2. 解析：最大值由最大的四个数字组成，即9876；最小值由最小的四个数字组成，即1234。
3. 解析：连接OA、OB和OC，由坐标可知，OA=OB=OC，所以三角形ABC是等边三角形。由于点B在x轴上，点C在y轴上，所以∠ABC=120°。
4. 解析：最大值由最大的五个数字组成，即98765；最小值由最小的五个数字组成，即12345。
5. 解析：连接AD和CD，由等腰三角形的性质，得AD=CD。因为AB=AC，所以AD=CD=AB/2。因此，以AB为直径的圆与以AC为直径的圆相切于点D。
四、几何构造与性质
1. 解析：设点D的坐标为(x, y)，由于D在直线AB上，所以y=0。由等腰三角形的性质，得AD=BD，即x²+y²=4²+y²，解得x=4。因此，点D的坐标为(4, 0)。
2. 解析：设点E的坐标为(x, y)，由于BD=4，所以(x-4)²+y²=4²。又因为AE垂直于DE，所以斜率之积为-1，即(y-3)/(x-2)×(y-1)/(x-4)=-1。解得x=3，y=2。因此，点E的坐标为(3, 2)。
3. 解析：设点D的坐标为(x, 0)，由于AD=AB/2，所以x²+0²=2²，解得x=2。因此，点D的坐标为(2, 0)。
五、组合计数与概率
1. 解析：从5个不同的字母中任取3个，有5×4×3种取法，但因为排列顺序不重要，所以需要除以3!，得到排列数=5×4×3/3!=20。
2. 解析：取出的球中至少有1个红球的对立事件是取出的球都是蓝球。从15个蓝球中取3个的组合数为C(15, 3)，从20个球中取3个的组合数为C(20, 3)。所以，取出的球都是蓝球的概率为C(15, 3)/C(20, 3)，因此至少有1个红球的概率为1 - C(15, 3)/C(20, 3)。
3. 解析：从18个女生中取3个的组合数为C(18, 3)，从30个学生中取3个的组合数为C(30, 3)。所以，选出的3名学生都是女生的概率为C(18, 3)/C(30, 3)。
4. 解析：从9个小于4的数字中取3个的组合数为C(9, 3)，从9个大于等于4的数字中取3个的组合数为C(6, 3)。所以，这三个数字组成的两位数大于40的概率为C(6, 3)/C(9, 3)。
5. 解析：取出的球中至少有1个红球的对立事件是取出的球都是蓝球。从5个蓝球中取2个的组合数为C(5, 2)，从10个球中取2个的组合数为C(10, 2)。所以，取出的球都是蓝球的概率为C(5, 2)/C(10, 2)，因此至少有1个红球的概率为1 - C(5, 2)/C(10, 2)。
六、几何图形的面积与体积
1. 解析：等腰直角三角形的面积公式为(底×高)/2，代入腰长10，得面积为(10×10)/2=50。
2. 解析：长方体的体积公式为长×宽×高，代入长6cm、宽4cm、高3cm，得体积为6×4×3=72cm³。
3. 解析：圆柱的体积公式为π×半径²×高，代入半径5cm、高10cm，得体积为π×5²×10=250π cm³。
4. 解析：圆锥的体积公式为(1/3)π×半径²×高，代入半径8cm、高12cm，得体积为(1/3)π×8²×12=256π/3 cm³。
5. 解析：球体的表面积公式为4π×半径²，代入半径7cm，得表面积为4π×7²=196π cm²。