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一、数据分析
1. 下列哪个选项表示一组数据的均值？
A. 最小值
B. 中位数
C. 方差
D. 均值
2. 若一个班级有40名学生，其中25名学生的成绩在90分以上，10名学生的成绩在80分到89分之间，5名学生的成绩在70分到79分之间。那么，该班级的成绩分布中，中位数是多少分？
A. 85分
B. 80分
C. 75分
D. 70分
3. 已知某班级学生的身高分布如下表所示：
| 身高区间（cm） | 学生人数 |
| --- | --- |
| 150-160 | 20 |
| 160-170 | 30 |
| 170-180 | 25 |
| 180-190 | 15 |
求该班级学生的平均身高。
二、逻辑推理
4. 下列哪个命题是正确的？
A. 如果所有学生都及格，那么至少有一个学生不及格。
B. 如果所有学生都不及格，那么至少有一个学生及格。
C. 如果至少有一个学生及格，那么所有学生都及格。
D. 如果至少有一个学生不及格，那么所有学生都不及格。
5. 下列哪个命题是错误的？
A. 如果下雨，那么地面湿润。
B. 如果地面湿润，那么下雨。
C. 如果不下雨，那么地面不湿润。
D. 如果地面不湿润，那么不下雨。
6. 已知：
① 如果A是正确的，那么B也是正确的。
② 如果B是错误的，那么C也是错误的。
③ 如果C是正确的，那么D也是正确的。
请判断下列命题的真假：
A. 如果A是错误的，那么B也是错误的。
B. 如果B是正确的，那么C也是正确的。
C. 如果C是错误的，那么D也是错误的。
D. 如果D是正确的，那么A也是正确的。
四、概率与统计
要求：计算以下概率问题，并解释你的解题过程。
7. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球。随机取出一个球，求取出红球的概率。
8. 一位老师从5个学生中随机选择3名学生参加比赛。求所有可能的选择组合数量。
9. 一项调查显示，某地区居民对一项新政策的支持率为60%。如果随机抽取10名居民，求至少有7名居民支持该政策的概率。
五、线性方程组
要求：解下列线性方程组，并说明解题方法。
10. 解方程组：
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
11. 解方程组：
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ 4x + 5y = 20 \end{cases} \]
12. 解方程组：
\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 7 \\ 2x + y + 4z = 11 \\ 3x + 2y + 5z = 14 \end{cases} \]
六、函数与图形
要求：分析以下函数和图形，并回答相关问题。
13. 给定函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求函数的顶点坐标。
14. 在直角坐标系中，直线 \( y = 3x + 2 \) 与圆 \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \) 相交。求两交点的坐标。
15. 函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \) 的定义域是什么？函数的值域是什么？
本次试卷答案如下：
一、数据分析
1. D. 均值
解析：均值是指一组数据中所有数值的总和除以数据的个数，因此选项D是正确的。
2. A. 85分
解析：由于成绩是连续分布的，中位数是位于中间位置的数。25名学生的成绩在90分以上，10名学生的成绩在80分到89分之间，因此中位数在85分左右。
3. 解答过程：
平均身高 = (150cm * 20 + 160cm * 30 + 170cm * 25 + 180cm * 15) / (20 + 30 + 25 + 15)
平均身高 = (3000cm + 4800cm + 4250cm + 2700cm) / 100
平均身高 = 13850cm / 100
平均身高 =
二、逻辑推理
4. D. 如果至少有一个学生不及格，那么所有学生都不及格。
解析：这是一个全称命题，它的逆否命题是“如果所有学生都及格，那么至少有一个学生不及格”，根据逻辑推理的规则，逆否命题与原命题等价，因此选项D是正确的。
5. B. 如果地面湿润，那么下雨。
解析：这是一个假命题，因为地面湿润不一定是因为下雨，可能是其他原因造成的，如洒水等。
6. A. 如果A是错误的，那么B也是错误的。
解析：根据已知条件，A错误则B也错误，因为如果A正确，B也必须正确。因此，选项A是正确的。
四、概率与统计
7. 解答过程：
取出红球的概率 = 红球的数量 / 总球数 = 5 / (5 + 3) = 5 / 8
8. 解答过程：
从5个学生中选择3名学生的组合数 = C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10
9. 解答过程：
至少有7名居民支持政策的概率 = 1 - (不支持政策的概率) = 1 - (4/5)^10 ≈
五、线性方程组
10. 解答过程：
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
由第二个方程得：x = y + 2
将x的表达式代入第一个方程得：2(y + 2) + 3y = 8
解得：5y = 4
y = 4/5
将y的值代入x = y + 2得：x = 4/5 + 2 = 14/5
11. 解答过程：
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ 4x + 5y = 20 \end{cases} \]
将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3得：
\[ \begin{cases} 6x - 4y = 24 \\ 12x + 15y = 60 \end{cases} \]
将两个方程相减得：6x - 12x = 24 - 60
解得：-6x = -36
x = 6
将x的值代入第一个方程得：3 * 6 - 2y = 12
解得：y = 3
12. 解答过程：
\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 7 \\ 2x + y + 4z = 11 \\ 3x + 2y + 5z = 14 \end{cases} \]
六、函数与图形
13. 解答过程：
函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) 是一个二次函数，其顶点坐标可以通过公式 \((-b/2a, f(-b/2a))\) 来计算。
顶点的x坐标：\(-(-3)/(2*2) = 3/4\)
将x = 3/4代入函数得：\( f(3/4) = 2*(3/4)^2 - 3*(3/4) + 1 = 7/8\)
顶点坐标：(3/4, 7/8)
14. 解答过程：
将直线方程 \( y = 3x + 2 \) 代入圆的方程 \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 \) 得：
\[ (x - 1)^2 + (3x + 2 - 2)^2 = 4 \]
\[ (x - 1)^2 + (3x)^2 = 4 \]
\[ x^2 - 2x + 1 + 9x^2 = 4 \]
\[ 10x^2 - 2x - 3 = 0 \]
将x的值代入直线方程得：当x = 1时，y = 5；当x = -3/5时，y = -1/5
两交点坐标：(1, 5) 和 (-3/5, -1/5)
15. 解答过程：
函数 \( g(x) = \sqrt{x - 1} \) 的定义域是使得 \( x - 1 \geq 0 \) 的x值，即 \( x \geq 1 \)。
函数的值域是使得 \( \sqrt{x - 1} \) 为实数的y值，即 \( y \geq 0 \)。