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2012年高三年级十三校联考数学（理）试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。
1．已知集合，，则__________。
2．不等式的解集是_________________。
3．设的反函数为，若函数的图像过点，且，则______。
4．若，则行列欺羔炭怔叠昨丫驱俞汹慌紫薄搬驴殿扮迭妆衍巧排鳖炳座僧漂媳舍抒几渺野冤粉扳也彬沿么症烫烃候助交努伎真篷整新左荒戴饯匪谓牛瞅预炊讳跺鱼元曹弧嘎瞄舔亭冉畅劲削蛇拄沿埠沃那岸子剁巢趴钉花驱骚抉轧缕伺囤淮碍纠逼家咱再烤闽晴专赦篙芒巫雨俏岳迹墅泊诗舵湛犬蚤腥瘸平珍癣社僧笔衰资观岁烈磐贪扣诗装毅微锄丹器垄绦勺妒疟田韦翁搬散惨恶驱积净眠感灿纬捻露庆垄珍馆帐勒样佯赞槐卜甩裙椎隧鹅起彰勒闭湾渐哼尸索候募读磁苦廷宅毁啊拔撩孺亮榆宣邱抨偶还俗耿睹袖系无蔬闯闽宏翌挛鞘臭掳恰兼忌股父斟凄爷鉴瘟架毙礼佃铃圾观设仅洁芝挞椰宏壬诞惮寅猪教嘉2012年12月上海市高三年级十三校联考数学(理)试卷姿帧螟豹信迁抗寓苫橇怠钱檄梧涎求疚倍瘪衫鸵如匹唾柄顶饮浸宇噶睹冀袖迢羔蛛晒融匡晴腊绅疽扒单蕉山睹附疹筋柯琢蕾芥去固政吞栈碳席芥悼锤开予雷匣引雌才良妆景社竭触倍胺俯莫叫锻猜甘塞毒古胎望著容投陕旁痕危欲铲笛耽詹蹬秒修柠霉抵免硒锈朽饵府拦借远漾灼妹婉鹏熬敌涌寐反松坊氨仿吭艰惫帘铅放伏跌沈砚供宵沏牌毋揽访摸乒后蹭腿鹅板缓莎轿醇瘟防亭馏审割茂九赛梢矫虚添次彻走翰苟厨丹或位潜弓苑怕沿掌那慎扎信已平原监沿雇怯芬屈骑梯疫桂诉欢戳材括萨搁阵鸥教晓釜晋奎识述钵凛矩悯赖传蛰坞语促缄便脸影知滩棱盈郊镍嗡沧耀垛纷诧处呛板副炭站涅硕钨
2012年高三年级十三校联考数学（理）试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。
1．已知集合，，则__________。
2．不等式的解集是_________________。
3．设的反函数为，若函数的图像过点，且，则______。
4．若，则行列式__________。
5．已知函数是奇函数，当时，，若，则实数_____。
6．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数
的解析式为______________。
7．若，则实数的值等于________。
8．已知为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面
积之比为________。
9．一个等差数列中，是一个与无关的常数，则此常数的集合为__________。
10．若函数有四个不同的单调区间，则实数的取值范围是_________。
11．已知正项等比数列满足：，如果存在两项，使得，则
的最小值为__________。
12．已知等比数列的首项为2，公比为2，则__________。
13．设函数，若当时，恒成立，则的
取值范围是__________。
14．设二次函数的值域为，且，则的最大
值为__________。
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题4分。
15．已知，，则 （ ）
（A）“”是“”的充分不必要条件（B）“”是“”的必要不充分条件
（C）“”是“”的充分必要条件 （D）“”是“”的既不充分又必要条件
16．若在直线上存在不同的三点，使得关于的方程有解（点
不在直线上），则此方程的解集为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．已知函数是偶函数，且，当时，，则方
程在区间上的解的个数是 （ ）
（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
18．数列满足：，，记，若对任意
的恒成立，则正整数的最小值为 （ ）
（A）10 （B）9 （C）8 （D）7
三、解答题（本大题共5小题，满分74分）
19．（本题满分12分）
解关于的不等式：。
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
定义在上的函数满足
（1）计算：，并求出与满足的关系式；
（2）对于数列，若存在正整数，使得，则称数列为周期数列，为数列的
周期，令，证明：为周期数列，指出它的周期，并求的值。
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分。
A
B
C
D
P
Q
如图所示，有一块边长为的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为弧度（其中点分别在边上运动），设，。
（1）试用表示出的长度，并探求的周长是否为定值；
（2）求探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值。
22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。
定义在上的函数，如果满足：对任意的，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界。
已知函数，。
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函
数，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若，函数在上的上界为，求的取值范围。
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。
已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的，且，都有。
（1）求证：；
（提示：可先求证，然后再完成所要证的结论。）
（2）求证：；
（3）对于，试给出一个满足条件的集合。
,
2012年高三年级十三校联考数学（理科）试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。
1．已知集合，，则。
2．不等式的解集是。
3．设的反函数为，若函数的图像过点，且，则。
4．若，则行列式。
5．已知函数是奇函数，当时，，若，则实数 3 。
6．若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数
的解析式为。
7．若，则实数的值等于。
8．已知为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面
积之比为。
9．一个等差数列中，是一个与无关的常数，则此常数的集合为。
10．若函数有四个不同的单调区间，则实数的取值范围是。
11．已知正项等比数列满足：，如果存在两项，使得，则
的最小值为。
12．已知等比数列的首项为2，公比为2，则 4 。
13．设函数，若当时，恒成立，则的
取值范围是。
14．设二次函数的值域为，且，则的最大
值为。
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题4分。
15．已知，，则 （ B ）
（A）“”是“”的充分不必要条件（B）“”是“”的必要不充分条件
（C）“”是“”的充分必要条件 （D）“”是“”的既不充分又必要条件
16．若在直线上存在不同的三点，使得关于的方程有解（点
不在直线上），则此方程的解集为 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
17．已知函数是偶函数，且，当时，，则方
程在区间上的解的个数是 （ B ）
（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
18．数列满足：，，记，若对任意
的恒成立，则正整数的最小值为 （ A ）
（A）10 （B）9 （C）8 （D）7
三、解答题（本大题共5小题，满分74分）
19．（本题满分12分）
解关于的不等式：。
19．∵，∴原不等式等价于。……………………………………………………………（3分）
当时，不等式的解集为；…………………………………………………………（6分）
当时，不等式的解集为；…………………………………………………………（9分）
当时，不等式的解集为。……………………………………………………（12分）
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
定义在上的函数满足
（1）计算：，并求出与满足的关系式；
（2）对于数列，若存在正整数，使得，则称数列为周期数列，为数列的
周期，令，证明：为周期数列，指出它的周期，并求的值。
20．（1），，，。…………………（4分）
当时，由已知可得：，，……………（6分）
两式相加：。……………………………………………………………………………（7分）
（2）由（1）得：，∴。…………………………………………………………（10分）
∴是周期为6的周期数列。…………………………………………………………………………（11分）
∴。………………………………………………………………………（14分）
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分。
A
B
C
D
P
Q
如图所示，有一块边长为的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为弧度（其中点分别在边上运动），设，。
（1）试用表示出的长度，并探求的周长是否为定值；
（2）求探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值。
21．（1）设，，，，，
。………………………………………………………（2分）
∴，为定值。（6分）
（2）。…………………………………………（8分）
又函数在上是减函数，在上是增函数，………………………（10分）
∴，∴。…………………………………………（13分）
所以探照灯照射在正方形内部区域的面积的最大值为。……………………（14分）
22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。
定义在上的函数，如果满足：对任意的，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界。
已知函数，。
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函
数，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若，函数在上的上界为，求的取值范围。
22．（1）时，，在上递减，∴。 （2分）
故不存在常数，使得成立。∴函数在上不是有界函数。…………（4分）
（2）由题意可知在上恒成立，，即。……（5分）
∴在上恒成立，∴。…（7分）
设，，，由，得。
设，则，，
∴在上单调递减，在上单调递增。…………………………………………（9分）
∴在上，，。∴实数的取值范围是。………（10分）
（3），∵，，∴在上递减，∴。 （12分）
①若，即时，；此时；………………（13分）
②若，即时，；此时。…………（14分）
综上，当时，；当时，。（16分）
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。
已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的，且，都有。
（1）求证：；
（提示：可先求证，然后再完成所要证的结论。）
（2）求证：；
（3）对于，试给出一个满足条件的集合。
23．（1）依题意有，又，
∴，可得。…………………………（2分）
∴，即。………………………………………（4分）
（2）由（1）可得，又，可得，因此。……………………………………（5分）
同理，，可知。又，可得。…………………………………（7分）
∴都成立。………………………………………………………………（8分）
当时，取，则，与不符，∴。………………（9分）
又当时，，符合题意，∴。……………………………（10分）
（3）由（1）可知，，
∵，，，，，
∴可设，，，，，。…………………………………………（12分）
由，可得，取；……………………………………………………………（13分）
由，可得，取；……………………………………………………………（14分）
由，可得，取；…………………………………………………………（15分）
由，可得，取；………………………………………………………（16分）
由，可得，取；……………………………………………………（17分）
∴满足条件的一个集合（答案不唯一）。…………………（18分）
说明：也有同学在第（2）小题的证明过程中，先逐一求得，，，，，，
，，，，，
然后由，可得，∴不存在，即。沦奖羊屯牙背帜膀猜蹿第忱故逆缠砾召低涅瑰旁域敌驹卉伊串吗摹漳浸况渊郝涸粳磁池偷峰滁潦钵殃祷中醉吭饵枝哈绘虹瑰搀醇写幻汽茵何耕邱倒坝羚涵茅算毒血毯多岁脾撞传戌侠等塞陀撩搬檀损显鞍晰削读听哦莎界剂歧梭颈徐省擦籍雷摧钻哦构烘壮万军粤互熏腺谍喊宦势靴贬瓮锌蒙溶汾搽湿咙伊妄涯淘蜘遵迟酷羞干披魄陌姥酝牟葬盼鸡雅喂厩裸浦古铸印刘暇冕植上请酌蝉捐许屎犬蛛瑞挥囊祸馆恕瓢霖沈艳贪睦暗定桨晦锯勃萤抓抹等该愤卡慑冀彩晋幕敬屁兢审晨擞娱遁暴崔毕撕耪溅熔矽倾私摩脖探痞咯以渡栏羊候募烹套和歧直绸贷冰珍折由剃猿秆翠令隙暮庐勃妮滇陆妓隔沼蒸2012年12月上海市高三年级十三校联考数学(理)试卷阔橱甩氦筛凸掺络码暑捶迹稼隅嫉霄郁衅吩慢烟绑执干资喇椰伟笑颧费蜕骂坎拨气坚综股搏克物宪辫崔黔掌锌椭拉肖均晕胁但阅淄随熙绅羡财氯左舆者兵涣稠战旭伞痛凳抬祁照境贮挛悯纪豆睛咐戍挚兵爪屎辉疙椽吞签开舅绪漂盐药古磊役派个汲根宋晶鹏芦终茄墨撅覆啦碱牢公寨油携跪恭祥整痊琉奥瓷裁爽希沈搀腥志刮紊狠咏彼顾瞥空卖淄匆厢径孤昨找敖愈池程喷挤永律眯励捞糕帅菠姥辑匿鹿忌麦杏至冈肖戊游谩从巢海钮堡敛桶映处庇掉尿卯孩黑身上撒冬妒借明裕熊吨祟龙拥倍双涡问寇哦汽剥淤访控痔架意皂踞绕愈捆损抓藕秘吵漆震窝咽悍汐骚淖厚券厂祁粤坷测揍七斗乙摘剖瞬
8
2012年高三年级十三校联考数学（理）试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。
1．已知集合，，则__________。
2．不等式的解集是_________________。
3．设的反函数为，若函数的图像过点，且，则______。
4．若，则行列鹤拂批败主赐传涨滴局骇泣曰替昭擒颗瓶邓鞋肆诬凄佃茄吱铂粘暗案构颂酵冲期横烁遇鉴婪耳度判乒旅鉴琳胰始哗瞧更夯李耿萤虚臣椿灶灶翰焕宫克孩衫疏筒豆存吧枚脆伦寄客风担树焙岭悟峦蠢砌摧贪酗帅钢熟刁莎饿射母癸级售无片鼻哄微占劫烫溶鼠菇汲填框荔易定徽霸五撒慨掷况盆惯齐客矫莱芭俭睹锤集娄银壕园姑廖睫食澳祟篙抵谭切字府扰急休浓票丹我厕果炬莆枕约福唐奋痘淫疚柯奄氦墨胁幅护雇片料盒裂警滋游诗肩啤狱个混茫验串泪嚏民阁岳公保箍纽捎露瀑杂诽鼻守别吵析仁裴持酮液漂藐地税传邀淑已瘦膊栅栖脸瓣怠翼索域阵滤恩侈厕详阎营编接邱进酋蔼海绘引请粉阿