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江苏省南京、盐城市2014届高三第二次模拟考试 数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数f(x)＝lnx＋的定义域为 ▲ ．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，aR)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ．
150 200 250 300 350 400 450
a
O
成绩/分
(第3题图)
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．
k←1
开始
输出k
结束
S＞6
S←1
Y
N
S←S＋(k－1)2
k←k＋1
(第6题图)
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．
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5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲ ．
6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．
x
x
y
O
·
2
－2
(第7题图)
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．
9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．
10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为 ▲ ．
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．
若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为 ▲ ．
13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ▲ ．
14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
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15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
P
B
C
D
E
A
(第15题图)
BP＝BC，E为PC的中点．
（1）求证：AP∥平面BDE；
（2）求证：BE⊥平面PAC．
16．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．
A
B
D
O
C
x
y
(第16题图)
（1）若x1＝，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．
17．(本小题满分14分)
A
P
M
N
B
C
(第17题图)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．
18． (本小题满分16分)
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在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程；
（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．
19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex，a，bR，且a＞0．
（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；
（2）设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．
① 当a＝1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有＜．
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南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与
A
E
B
C
F
D
第21题A图
DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；
（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝．
（1）求矩阵A；
（2）若A＝，求x，y的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求曲线r＝2cosθ关于直线θ＝(rR)对称的曲线的极坐标方程．
D．选修4—5：不等式选讲
已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．
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【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学的概率；
（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．
23．（本小题满分10分）
设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：
①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．
（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；
（2）求f(n)的表达式．
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参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1
8． 9． 10．60° 11．1或 12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]
二、解答题
15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP． …………………………………………4分
因为AP平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面PAB． ………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．
因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，
所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分
16．解：（1）解法一：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．
所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分
所以x2＝cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－． …………………………………6分
解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，则＝(，)，…………2分
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＝(x2，y2)， 因为·＝||||cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分
又x22＋y22＝1，联立消去y2得50 x22－30x2－7＝0
解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分
解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分
所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………4分
由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分
因为α(，)，所以α＋(，)．
所以S2＝－sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－cos2α．……………………………10分
因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α(，)，所以tanα＝2．………14分
17、解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP
A
P
M
N
B
C
第17题图
D
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分
＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二(构造直角三角形)：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分
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在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分
AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)． …………………………12分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分
解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝． …………………………………………6分
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分
解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，
∴(x1－x2)2＋3x＝4． …………………………………………2分
MN的中点K(，x2)．
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
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∴PK2＝(x0－)2＋(y0－x2)2＝3，
kMN·kPK＝－1，即·＝－1， …………………………………………6分
∴y0－x2＝(x0－)，∴(y0－x2)2＝(x0－)2
∴(1＋)(x0－)2＝3，即(x0－)2＝3，∴(x0－)2＝x．
∵x0－＞0 ∴x0－＝x2，
∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分
∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分
即AP≤2．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
A
P
M
N
B
C
x
y
设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．
∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2
∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
顺时针方向旋转60°后得到．
＝(x0－x1，y0)，＝(x2－x1，x2)．
∴＝，即
x0－x1＝(x2－x1)＋x2，y0＝－(x2－x1)＋x2．
∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1． …………………………………………8分
∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分
即AP≤2．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
A
P
M
N
B
C
F
E
解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．
由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分
设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，