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广东省佛山市普通高中2018届高三教学质量检测(二)数学(文)试题 全解全析
1. B【解析】因为全集〃 ={0,1,2,3,4,},所以C^={1,的，= {0, 1},
因此(S) C ©B)=⑴，选B.
2. B【解析】因为(z-i)(z + 0 = 3,所以z2_j2 = 3,
g|jz2 + l = 3, |z|2 = 2,因此|z|=Q,
选B.
3 ・ C【解析】因为f (力= 3X- 3~x?所以厂(幻=3xln3 一 3~x(ln3) X (-1) = 3*饥3 + 3-叫?z3 > 0,
因此函数肚龙)=3- - 3-为(-卩+s)上单调递増函数，从而由％ > b??可得{£Kd)>Hby ,由 乍(a) > Kby可得-a > b” ,即“a > b”是“f(a) > f(bf的充分必要条件，选C.
4. D【解析】先作可行域，如團，则直线z = 2尤-炮点A (-1,2)时z取最小值-4,选D.
x = 3“
2 (-,0)
5. A【解析】因为抛物线C:y2 = 2px(p > 0)的焦点为2 ,
又因为抛物线C：y2 = 2px(p > 0)的焦点在直线x + 2y - 2 = 0上，
P
匚+ 2x0 — 2 = 0・・・p = 4p
所以2 选A.
6. A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数旷>0；
_ 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 一 + 2 + + 3 + 5 +
x = = = = 3,
因为 6 6 所以回归直线!的方程必过点
(簸)=(3,3),即直线胎好过点D；
3- 1
kAn = = — < 1
因为直线I斜率接近于AD斜率，而切 3 2 ,所以③错误，
综上正确结论是①②，.
7・8【解析】若输入5 = -2,则执行循环得 S = 〒,k = 2;S =£/c = 3;5 = -2,k = 4;5 = ^,k = 5;S = ^tk = 6；
S = -2,k = 7；S =2，k = 8；S = ?k = 9；结束循环，输出S =[与题意输出的S = 2矛盾；
若输入S = —1?则执行循环得S = 2；S = 2tk = 3；5 = —Lfc =4;S = = 5;5 = 2,k = 6;
X. 厶
s = -l,k = 7;S =|,fc = 8;S = 2,k = 9;结束循环，输出S = 2?符合题意；
若输入S = 一土 则执行循环得S =£k = 2；S = 3tk = 3；5 = 一右,Jc = 4;S = £Jc = 5;S = 3,/c = 6;
x a Xi 3
s =-丁卫=7;S = 8；S = 3卫=9结束循环〉输出s = 3〉与题意输出的S = 2矛盾；
若输入S = ~?则执行循环得S = 2,k = 2；S = —1,k = 3；S = ],lc = 4;S = 2,k = 5；S = —1,k = 6;
S =^,k = 7；S = 2,k = 8；S = 7/c = 9；结束循环〉输出S = 一1,与题意输出的S = 2矛盾；
综上选B.
& C【解析】螺栓由一个正六棱柱与一个圆柱组合而成，其中正六棱柱的高为1,底边正六边形边长为2,
圆柱高为6,，正六棱柱的一个底面
y/32_
积为6x^x2 =6V ,正六棱柱的侧血积为6x1x2 = 12,圆柱侧血积为2^x1x6=1271,因此螺栓的表
面积为2 x 6© +12 + 12tt = 12^/3 +12+ 12© 选 c 学#科网
点睛:空间儿何体表面积的求法
(1) 以三视图为载体的儿何体的表面积问题，关键是分析三视图确定儿何体屮各元素Z间的位置关系及数
量.
(2) 多血体的表血积是各个血的血积之和；组合体的表血积注意衔接部分的处理.
⑶旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
9. C【解析】若赵同学说：甲是2号为对，则乙不是3号；钱同学说：丙是2号是错，则乙是4号；孙同
学说：丁是2号是错，丙是3号；李同学说：乙是3号是错，则丁是1号；此吋甲是2号，乙是4号，丙 是3号，丁是2号;
若赵同学说：甲是2号为错，则乙是3号；孙同学说：丙是3号是错，丁是2号；钱同学说：丙是2号是 错，乙是4号也是错的；与每人都说对了一半矛盾；
综上丙是3号，选C.
10. A【解析】由题意得F(-c,0),4(a,0),不妨设则
|BF|=Vd2 4-c2 > c> |?4F| = a + c > g |>15| = va2 + h2 = c?
因为△朋F为等腰三角形，所以只能是|肚| = \BF\? .%a+c =佇T丽
・•・ a2 + c2+2ac = c2 +c2 - a2 ・•・ c2 一 2a2 — 2ac = 0
即e2-2e-2=0,e =1+V3,(舍去员值力选A.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于4b,c的方程或不等式，再根 据Q，b,c的关系消掉b得到4C的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的儿何性 质、点的坐标的范闱等.
7T 7T 7T
(i)X G(3 ,2,(1) J
11. B【解析】因为尤£(1，2)时 4 4 4,
f(x) = sin [a)x ——](a)> 0)
又因为函数 I 4丿 的图象在区间(1,2)上不单调，
H 7T 7T
K7T + — G(CO ,2cO )
所以存在心、使得 2 4 4 ,
71 . n n kn 3n
即得
——< kn + — < 2a)——,——H < co < kn + ——
4 2 4 2 8 4
7n
3n 3n 7n
.c —<tO<— . 4 —<6O<
当k = 0时，8 4 .当k = l时，8 4 .
3n 7n 7tt lln Utt
••• co > 0 ••• k » 0
117T llzr
——< o)<—-~ •• 当k = 2时，8 4 ；
4kn + 3兀 4kn + 3兀 因此a的取值范围为8 4丿‘8 4，‘8 4丿 8 4
37r 37T 7n
8 4丿5 〈选B.
【点睛】函数歹=Asin^aix +卩)+ B(A > 0,3 > 0)的性质 (l)ymax = Z + B, ymin = A-B
.,2/r
⑵周期r
cox + e = — + kyi(k G Z)
(3) 由 2 求对称轴
n n
--+ 2kn < cox + <p <- + 2kn(k G Z)
(4) 由2 2 求增区间;
n 3n
-+ 2kn <a)x + (p < F 2kn(k 6 Z)
由2 2 求减区间
12. D【解析】由题意得"0过点(1,0),且广(1) = 0,・・・『(龙)=3x2 + 2ax+&，r(x) = 6x + 2a, 所以 1 + a + b + c = 0,6 + 2a = 0 ・•・ a = —3,b = 2 — c,
因止t/(x) = x3 -3x2 + (2 — c)“ c = (x — l)3 一(1 + c)(x- 1), /(0) = c,
①若c > 0,则由/(x) = (x-1)3 - (1+ c)(x -1) = 0 => x= l,x = 1 + vl + c,因此存在 x0 = 1- yTTc < 0,/(xo) = 0.
②若c <-1,则oCO = |/(x)| = |(z一 l)3 - (1 + c)(x一 1)1，此时广CO = 3(x- l)2-(l+c)> 0,图像如
图所示，因此不等式讥兀+ D>gW等价于x + l>2-x.-.x>|.即不锌式pa + 1)>g(x)的解集为
ffW =-(x-l)3 + (l + c)(x - 1),(X < 0)的一条切线,
则丁 = kx是曲线
-1)2+(1 + C),
xo
7o -(兀0 - 1)“ + (1 + c)(xo - 1)
k —
因为勺 勺 ,所以
-(兀0 - 1)'+ (I + C)(Xo - 1) 2 3 2
=—3(乂° — 1) + (1 + c) 1 + c =_ (xq — ])' + 3%q(Xq — 1)
xo
・•・ k =- 3(x0 - l) + (1 + c) =- 3(x0 - l)2 - (x0 - l) + 3x0(x0 - l)2 = 2(x0 - 1)[
]
一 1 V c V 0=>l + c =- (兀o 一 l)3 + 3x0(x0 一 l)2 = (x0 一 1)2(2x0 + 1) € (O,l)=>xo G (——,0)
由 2 ,
3 27
比-x0 - 1 G ( - - 1), k = 2(x0 - l)3 G ( - —, - 2)
所以 2
综上，正确结论的个数为3,选D.
点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再 根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式, 复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，’再根据单调性确定值域.
13・3x-y-2=0【解析】因为= 所以在点(lj(l))^b的切线斜率为厂(1) = 2 +扌=3,
因为f(1) = 1,所以切线方程为y-l = 3(x-l),3x-y-2=0.
14.
49
••• 1 — 2slnacosa = — ••• 2slnacosa
25
一 丫或一 a【解析】因为s加(a _ f)= 爭 所以乎G加a 一 cos a)=誉・•・sina 一 cosa =右
严••• (sina + cosa)$ = 1 + 2sinacosa = — > 所臥
25 25
sina + cosa = ±” 解得*
sina =-
s或 cosa =— 5
sina = |
cosa =—三
所 ^tana =
cosa
15. 3【解析】以B为坐标原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,贝回0,0)/(1,0)1(0,2),, ,14
因为D为必中点，所以D(0,l),因为廊=2农 所以氐亍亍)’
所以DEAC =
16.
2n + 3
2n
a】+ 3a2 H F (2n - 3)an x
所以
= 3-
2n + 1
2—1
(n > 2)
1_Z 2n
因此 al +a2 + - + an = ~2
点睛：给出片与①2的递推关系求珀，常用思路是：一是利用= 转化为％的递推关系，再求
_（ s“= 1
其通项公式；二是转化为久的递推关系，先求出几与71之间的关系，再求应用关系式an = [Sn-Sn-Vn>2
吋，--定要注意分n = ltn>2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
17. （1） 12 （2） 3
【解析】试题分析:（1）根据正弦定理直接可得s加厶BCA、（2）设卫C = xtAD = 3x?根据山4C +乙CAD = j
得cos MAC = sin厶CAD,由余弦定理可得cos ^BAC = 在直角三角形中求得sin^CAD=^ = ^f
试题解析：（I）由正弦定理得,
43 _ BC
sinLBCA sin LB AC
即忐
最后解方程得HC.
解得s加厶BCA =醫.
=x,AD = 3x?在肮△4CD 中,CD = \AD2-AC2 = 2^ sin lCAD = ^ = ^3.
AD 3
在AX眈中，由余弦定理得，cos ABAC =
▲耶+詁-詁
2 AB AC
宀1
2>[2X
+ 乙C£D =中，所以cos = s加乙C4D、即
宀1
2\2x
3
整理得3尢2 - 8光一 3 = 0，解得尤=3或尤=-寸（舍去力即4C = 3
13
18・（1）见解析（2） 2
【解析】试题分析：（1）过点E作E0丄皿，根据血血垂直性质定理得E0丄平血ABCD,由于CF丄平血4BCD, 所以CF//OE,再根据线而平行判定定理得GF//平丽4皿同样由"//眈，根据线而平行判定定理得肌〃平 面SDE,最后根据面面平行判定定理得平面BCF//平面力DE,即得BF//平面力DE.（2）先分割多面体为一个四 棱锥F-ABCD与一个三棱锥F-ADEy再找高或证线血垂直，由（1）可得肋丄平血力DE, CF丄平^ABCD, •科•网
试题解析：（I）过点E作EOLAD,垂足为0.
因为平面ME丄平面朋仞，平面ADE n平面朋仞=",
EO u平面4DE,所以£0丄平面朋CD,
又CF丄平面43CD,所以CF//0E,又CF ©平面4DE,
所以CF//平面4DE.
因为4D//EC, BC C平面4皿 AD u平面4D瓦
所以3C〃平面4DE,又EC n CF = C,
所以平面BCF//平面ADE,又u平面*CF,
所以亦〃平面4DE.
(II)由(I)E 0丄平面4ECD (此时0为4D中点力可得E0丄肋,
丄 = 0,所以4E 丄平面4DE,
又平面BCF“平面4DG故点P到平面ADE的距离为朋=岳
所叹多面体肋CDEF的体积V =临蟻—迢+冬磧*込=I • S悌如a • CF + } Sse • AB = -■-(1 + 4) ・>/?• >/? + ? •匹・42・苗=竺.
3 2 3 4 2
19. (1)平均数的估计值为100,方差的估计值为104.. (2) 100元，1396000元
•【解析】试题分析：(1)根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，根据方差公式求方差，(2) (1) 先根据定义分别求出各箱对应利润，再求和，(ii))根据提供的概率分布，佔计出10000件产品中三个等级 的件数•，再根据定义分别求出各箱对应利润，最后求和.
试题解析：(I )质量指标的样本平均数
x = 80x + 90 x + 100 x + 110 x + 120 x = 100
质量指标的样本的方差 s' = ( - 20)2 x 0 06 + ( 一 10)2 X + 0 x + 102 X + 202 X = 104,这种 产品质量指标的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(II)因(丘- s,五 + s) = (,),(x- 2s,壬 + 2s) = (,)
(),(%-3s,x + 3s) = (,).
(i) 计算得5件产品中有一等品两件：93, 105；二等品两件：85, 112；三等品一件：76.
故根据规则，获利为：2 x 200 + 2 x 100 + 1 x (-500) = 100元.
(ii) 根据提供的概率分布，该金业生产的10000件产品中一等品大约为10000 x = 6826件，
二等品大约为 10000 x ( - ) = 2718件,三等品 10000 X (-) = 430件，
不合格品大约为10000 x (1-) = ％网
估计年获利为:6826 X 200 + 2718 X 100 + 430 x ( - 500) + 26x( - 1000) = 1396000元.
20. (1) y = 2x-4 (2) 4
【解析】试题分析：(1)根据中点坐标公式得A的横坐标，代入抛物线方程得4的纵坐标，最后根据点斜式 求直线/的方程：(2)先设坐标以及直线方程尤+ 2,根据及0, D三点、共线设D为 (心2,久为)，由圆的性质得而丄而，并用坐标表示，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简 解得|OE|・|OD啲值.
试题解析：(I)因为A是PC中点,P(2,0),点C在丼由上，
所以4的横坐标尤=1,代入旷=4无得，y = ±2?
又点4在第四象限，所以4的坐标为(t-2),所以直线4P即直线!的方程为卩=2%-4.
(II)显然直线Z的斜率不为0,设直线/的方程为尤=my + 2朋(畑儿)/(畑yj
又3OD三点共线，贝何设D为(Ax2,Ay2)(A 1且久H 0),
联立方程f二：订2，化简得到y 2-4my-8=0,
由韦达定理得％ -y2 = 一8,又在护=4灶,所以心・x2 = 4,
因为D在以肋为直径的圆上••所以乔丄OD ,即乔•而=0,
又4力=(加2 -心旳2 - Fl)，劝=(加2旳2),所以(加2 -兀1)(加2)+ (矽2 -力)(勿2)=。即久(卅+处)=- 4
所以|OB| ・ \OD\ = W\OB\2 = |久|(於 + 诡)=4
_ 1
21. (1) 2' (2) (-8,0].
【解析】试题分析：(1)先求导数/W,再根据d的正负讨论导函数零点情况，当时只有一个零点， 且为极小值，再根据极小值为0 ,求Q的值；当Q>0时讨论两个零点大小，先确定极小值取法，再根据极小 值为0，求Q的值；(2)先化简不等式为再对尤工0时，变量分离，转化为讨论对应函数最
e2x - ex e2x - /
:a < r h(x)=
值问题 X最小值，先根据/-1与兀同号得 X >0,再根据放缩证明M对最小值恒大于零 且趋于零，综合可得G的取值范围.
试题解析：(I ) /w = (eX - 2a) + xeX -2ax = (x+ l)(ex - 2a)fx E R
① 若a SO,则由f&) = 0解得x =・1,
当〃(-8,-1)时，/(x) < 0,/(x)递减；当％€(-1, + 8)上，/(X)> 0,/(x)递增；
_ 1
故当咒=-1时，/XQ取极小值/(-l) = a-e_1,令a-e_1 = 0,得° 一 e (舍去).
② 若a > 0,则由尸-2a = 0 ,解得尢=加(2a)・
(i) 若ln(2a)<-l,即OVa <辛寸，当仔(一叫 饥(2a))•厂(力 > 0』(町递増；当x e (ln(2a) , -1)±,
亠m
r(%)<oj(x)递减：当” e(7+8)上,r(x)>oj(%)递増.
故当尤=—IB寸，fO)取极小值/(-I) = a - e-S令a -严=0 ,得a =；(舍去)
(ii) 若Zn(2a) = -1,即a = 寸,P(x)>0J(x)递増不存在极值;
(iii) 若 Zn(2a)>-1,即 a>m 寸，当 xe(-c»,-l)±, /r(x)>0J(x)递増；% 6 (-1,饥(2a))上， r(%)<0J(x)递减；当兀 GO(2a),+8)上,r(x)>0J(%)递増.
故当尤=饥(2a)0寸,f⑴取极小值f(饥(2a)) = -aln (2a) = 0?得a =申荷足条件.
故当f &)有极小值且极小值为o时,a =扌.
(II)方法一：/(2x) > 2f(x)等价于 2x(0 - 2a) - 4ax2 > 2x(/ - 2a) - 2定，
即兀/x - xex _ a/ n °,即尤(/x - ez - ax) > 0 ①
当兀=0时,①式恒成立；以下求当％ > 0时不等式戶--s 2 0恒成立，且当兀< 0时不等式-ex-«x< 0恒 成立时Q的取值范围.
令g(x) = e2x -ex - ax｝即g (x) = 2e2x -ex -af 记A = 1 + 8a.
1
ci S— •
(i) 当A = l + 8aS0即 8时,g (x) > 0^(x)是R上的增函数，
1
Q _
所以尢 > 0，“(X)> 9(0) = 0;x < 0/cg(x) < <g(0) = 0,故当 8时，①式恒成立；
1
a >— y O
(ii) 当△= 1 + 8a> 0即 8时，令t = ex,h(t) = 2r -1- a
其中妇=匕严出=土严血< t2),故孑(光)在(-8,0)上有两个零点：
x1 = In t x = in ~+A，14~sa (x < x2< 0),
4 ■ 4
在区间(-S,©)和(畑+s)上，gf(x) > Q,g(x)递増；在区间(尤“尤J上，90)<0,9(无)递减；
故在区间(-4 0)上，g(x)取极犬值讥心)=e2x^-护一 aXlf ②
注意到a < 0,巧 < 0,所以ax丄 > 0,所以9(心)=e2X1 — eX1 —ax丄 < e2X1 —严=eX1 (e* — 1) < 0.
注意到兀2 < 0,在区间(兀2’ +s)上，9(兀)递増，所以鸟(兀2)> 5(0) = 0,当兀> 0时，g(x) > 0.
故当一扌< a V 0时，在区间(-8,0)上，g(x) < 0,而在区间(0,+s)上g&) > 0.
当a = 0时，9(尤)=e2x -ex = ex(ex 一 i),也满足当光 > 0时，g(x) > 0；当兀 < 0时，g(,x) < 0.
故当-扌< a < 0时，①式恒成立;
(iii) 若a > 0,贝i_|当光-> -s时，e2x - ex -> 0, 一 ax -> +s,即gO) -> +s,即当a > 0时,①式不可能恒
成立.
综上所述，所求Q的取值范围是(-8,0]..•网
方法二：/(2x) > 2f(兀)等价于"2“ _ xez >ax, ③
当兀=0时,
③式恒成立;
当尢>0时,
/ x 2x
e -e e
a < h(x)=——
③式等价于： X ,令「
ex-l> 0,/i(x) > ％ V 0时，ex-l< 0,h(x) > 0,
一e 订、e _e e (e -1)
/iO) =
x ,贝I
故当a<0吋，③式恒成立.；
以下证明:对任意的正数d存在兀o,使
2xo xo
e - e < a
,取勺<0
e2XQ - eX°
1
Xn V
0 4a 时,
2x()"
e - e < a
71
2 0 = —(p 6 R)
22. (1) P - 4pcos0 + l = O. (2) 4
【解析】试题分析：(1)先根据平方关系消元得曲线6的直角坐标方程，再根据
P2 = x2 +严,尢= =砂加&将直角坐标方程化为极坐标方程，最后代入A点坐标解出a, (2)先设直 线啲极坐标方程为8 = 代入C- 5得交点极径或关系，根据|MP|, |0巩|PN|成等比数列得
Ps =(p3 -Pi)(Pz 一 P)代入化简可得a.
试题解析:(I)曲线6的直角坐标方程为(x-a)2+y2 = 3,化简得x2+y2-2ax+a2-3=0,
又尢2 +y2 — p2 x — p cos 8 ,所以p' 一 2ap cos 0 + a2 — 3 = 0・
代入点.(1,?)得亦一 a - 2 = 0,解得a = 2或a = -1 (舍去)・ 所以曲线G的极坐标方程为，—4p cos 8 +1 = 0.
(II)由题意知，设直线/的极坐标方程为0 = a(p e R),设点Af(pva),jV(p2,a),P(p3,a),
则Pl < P2・ 联立｛P Q &得，p3 = cos a.
联立｛P2
°得> P2 -4pcos a + 1 = 0^ 所以Q]+化=4cos a.
P1P2 = 1・
因为\MP\t\OP\t |PN|成等比数列，所以加=（p3 -Pi）（p2 一 P4 即2加=（Pi + p2）p3 一 PiPz-
所^2cos2a = 4cos2a — 1,解得cos a =—.
经检验满足0MP,N四点依次在同一条直线上，所加的极坐标方程为8 = f (P e R)・
23. (1) (一8, -1)U(2, +8)(2)(0,4)
【解析】试题分析：(1)根据绝对值左义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先根 据绝对值定义化为分段函数形式，作图可得形状为梯形，根据梯形而积公式列不等式，解不等式可得Q的取 值范围.
试题解析：(I)当a = 2时，不等式为\x + 2\<x2.
若尤> 一2,贝收+ 2 V好，解得光> 2或％ < 一 1,结合光> -?f#x > 2或一2 <x < -1.
若光< 一2,则一光-2 <x2,不等式恒成立〉结合光< -7^x < -2.
综上所述,不等式解集为(一8, -l)u(2, +s)・
2% -l,x > a + 1
(II)5(x) = |x + a| + |x — a - 1| = 2a +1,—a < % < a + 1 —2x + l,x < —a
贝也00的團象与直线y = 11所围成的四边形为梯形，
令 2尤—1 = 11,得光=6,令—2尤 + 1 = 11?得％ = —5,
则梯形上底为2a+1,下底为11,高为11-(2a +1) = 10-2a
S =皿十；心(10 - 2d) > 20.
化简得亦+ a - 20 < 0,解得一 5 <a<4,结合a > 0,得a的取值范围为(0,4).
点睛：含绝対值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求 ，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、 渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.