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（本卷满分150分
考试时间120分钟）
参考公式：
球的表面积公式
S-4nR2
球的体积公式
V=—叔
3
其中R表示球的半径
锥体的体积公式
V=-Sh
3
其屮S表示锥体的底面积，/?表示锥体的高
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,
一项是符合题目要求的。
柱体的体积公式
V=Sh
其屮S表示柱体的底面积，表示柱体的高
台体的体积公式
其中$,S2分别表示台体的上、下底而积，
h表示台体的高
共40分。在每小题给出的四个选项屮，只有
1.(改编)己知集合 A = = {1,/??},AAB = B,则 m=( )
Cl或胎
D. 0 或 3
2（改编）已知y=f（x）是R上的增函数，其图象经过点A（0, 1）和B（-3,-l）,则不等式|f （x） |<1 的解集是（）
A. {x|-4<x<-l} B. {x|-3<x<0} C. {x|-3<x<-l} D. {x|x<-3 或 x>0}
（原创）m2 = 33 + 6）是直线处+ （zz? + 6）y + 1 = 0和直线
3/ +砒—1 = 0平行的（）
（原创）等差数列{曰」的前门项和为》, si2 = 186,色=20,则日5 =（）
A.-l
（原创）设平面a与平面E相交于直线m,直线a在平面a内，直线b在平面［3内，且 方丄刃,则
“a丄b^a丄0"的（）
（原创）AABC中，AB=LBC=V6 ,CA=2,AABC的外接圆的圆心为O,若
AO=aAB+MQ实数入宀的值为（）
-① 2 3 小① 3 2
4、入=—p = — k = — LL =—
5〃 5 5卜 5
C、X = — |^ = — D、X = — p,=—
5〃 5 5〃 5
2 2
7.
（改编）双曲线十一右=1@〉o, Q〉0）的离心率为廳，且它的两焦点到直线
~~T = 1的距离之和为2,则该双曲线方程是 （）
A. — - y2 = 1 4
B. *
y2
C. 4x2 - y2 = 1 D / - 4y2 = 1
&函数/（兀）的定义域为（一 oo,l）u（l, +oo）,且/（兀+ 1）为奇函数，当兀＞1时, /（x） = 2%2-12x + 16，贝ij方程/（x） = m有两个零点的实数加的取值范围是（）
A. （—6,6） B. （—2,6） C. （― 6,—2）u（2,6） D. （— oo,—6）u（6,+oo）
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共36分
（ 、
TT
【原创】函数y = -2 sin + - + 1的最小正周期是 ，最小值是
I 6丿 ——
单调递增区间为
（改编）若等比数列込｝,满足色+21= 40,色+冬=80,则公比q=_
前n项和$n =
（改编）在△ABC 中，若 b二 , ZB=亍，snA二4 则 sinA二 ；a=
（改编）设双曲线C经过点（2逅,4）,且与- y2 = 1具有相同渐近线，则c的
方程为 ;渐近线方程为
Y収得最小值
13 （改编）设a+b=4, b>0,则当沪 时,
兀-+ 2 > 0
^>0
A(B)
A
M
阳②
4
图①
（1） 方程/（%）= 0的解是
（2） 下列说法中正确命题的序号是
®f - =1；②/（兀）是奇函数；③/（X）在定义域上单调递增；④/（X）的图象关于点
（4丿
\
•（填出所有正确命题的序号）
<1
2丿
4,0对称；⑤/（x）>>/3的解集是一,1 .
\ 3 >
【原创】已知点A（3,V3）, 0是坐标原点，点P （x,y）的坐标满足
设z为刃在丽上的投影，则z的取值范围是
15、下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）屮的实数加对应数轴 上的点M,如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将 这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1）, 直线AM与兀轴交于点N（〃,0）,则m的象就是n ,
三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
71
16 （改编）在AABC中，内角A, B,C的对边分别是a, b, c,已知c=l, C= — 3
12
(1 )若 COS( 0 +C)=五,0< 0 <兀,求 COS 0 的值
（2）若 sinC+sin（A・B）=3sin2B,求AABC 而积
（改编）如图，平面初丄平ifij" ABC,四边形ABEF为矩形，AC = BC . 0为A3的
中点，OF丄EC. （1）求证：OE丄FC； （2）若FC与平面ABC所成的角为30。，求二
面角F-CE-B的余弦值.
（改编）已知椭圆C： =1 （a>b>0）的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，且过点 M （伍 1）.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 设点F （ - 2, 0）, T为直线x=-3上任意一点，过F作直线1丄TF交椭圆C于P、Q ：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）
（改编）已知数列｛爲｝的前 n 项和为 S” , ax = — ,Sn =n2at1-n（n-\\n = \,2,
（1） 证明：数列［字S”｝是等差数列，并求
An （ q\h i
（2） 设b,=stx-— x（,7 + l）,数列｛仇｝前斤项的和为町，求IE： . Tfl<-
ir 3
20 .己知二次函数/（兀）=2/为偶函数，&（兀）=（丿^ — 1）兀+ "7 , 心）二心+1）2 （c工2）.关于兀的方程/（%）=乐）有且仅有一根|.
（I） 求a,b,c的值;
（II） 若对任意的恒成立，求实数加的収值范围；
（III） 令况r） = 7/（x） + J/（l -兀），若存在xl ,x2 g ［0,1］使得|加內）一加兀2） - g（同，求实 数加的取值范围
参考答案及评分标准
选择题:本每小题5分，满分50分。
⑴B
(2)C
(3) D
(4) C
⑸B
(6) C
(7) B
(8) C
填空题：满分36分。
(9) 71 \ 3；[斤龙 +
12
4--7T]
3
(10) 2； 4(2〃 一 1)
(12)
(13) -2
(14) [-3, 3]
15・(l)x=y
解答题：本大题共5小题，共72分。
12
16-(1)由题意可知迹(0+自诗,
V0<9<n , /. 3 3
4 —71
3
71
71
V 2~
sin(& + 兰)=空
3 13
cos"cos(& +「f)j3
2分
……4分
7分
(2)由题意知 sin(A+B) +sin(A-B) =3sin2B
A sinAcosB=3sinBcosB
/• cosB=0 或 sinA=3sinB
/. a=3b 或 B =—
2
10分
当頁b时,由余弦定理得八*
12分
28
14分
17. (1)证明：连结0C,因AC = BCf。是A3的中点，故0C丄AB .又因平
面ABC丄平面ABEF，故0C丄平面ABEF ,于是0C丄OF •又OF丄EC,所以OF丄 平面OEC ,所以OF丄OE ,又因OC丄OE ,故OE丄平面OFC ,所以 OE丄FC・
6分
解法一：由(1),得AB= = 1, AB= 平面ABC所成的角，故ZFCA = 30 ,所以FC= EC=2 , \ FO EB = P,则0, 3分别为PF, PE的屮点， 点M,连结册，MP ,则FM丄CE, MP丄CE ,所以ZFMP为二面角F-CE-B AM F中，F Nt My/T , FP = 2y[2 , 故
FM2 + MP -FP 23+ 8
c忆册P = =・ J厂｛一 ,即二面角F-CE —B的余弦值为
2FMMP 2xV3xV3 3
3 9分
解法二：取EF的屮点D,以0为原点，OC, OB, 0Q所在的直线分別为x, y, z轴 建立空间直角坐标系O- = 1, AB=2，则碑 ，C(V2,0,0), £(0,1,1), F(0, —1,1),从而 CE = (-y[2-l-l)f EF = (0,-2,0)
18解：(1)抛物线y2=8x的准线方程为：x=-2,
2分
・・・椭圆C的一个焦点为:Fi ( -2, 0),
即c=2, F2 (2, 0),过点・
, a2=6, b2=2,
6分
2 2
即椭圆c的方程为：卡+专“,
(2) F] (- 2, 0), T 为(・ 3, m),直线 PQ 方程：x = my ・ 2,
设 P (xl, yl), Q (x2, y2),联立方程组， 即(n?+3) y2 - 4my - 2=0,
A=16m2+8 (m2+3) >0,
11分
Tyi+y2=—|丄，y】y2二一t二
in +3 in +3
13分
19 •\xi+X2=m (yi+y?) - 4=- —- I/ ・・•线段PQ中点M (-弓一• ir+3
T 为(-3, m), kOT= 3
・・・OT经过线段PQ中点M
+3 加
iti2+3
),kom=
15分
= rTan - n{n 一 1)知,
当时:
S“ = n" (S〃 _ Sn_}) - n(n -1),
即得到(/? —1)S〃 _ 屛 S“_] = n(n-l),
・s丄
"H + l
n+$+…恥右+古+・・・+3公
丄(1-—)
丄)<丄
3 —I 3 2" 3
~2
15分
22
20•解：(I) rtl /(x) = /(-x) ^>a = 0
9 I
rtl /(x) = h{x)可得：(c-2)x2 -}-2cx+c-b = 0 代入尢=—得：b- — c—— ①
4 2
A = 0 => c2 = {c — 2^c — b)②
2 2
联立方程①②解得：b = l,c = —.・• g = 0，b = \,c = —・ 3分
3
72x2+I <(V3-l)|x| + m
当x = 0时，m>\ 4分
当加=]时，(丁2，+1)2 - [(V3 -1)|%| +1]2 = 2(V3 -1# - 2(V3 -1 昭= 2(V3-l)^-l)<0
/. J2/+1 <(V3 -l)|x| + 1 m > 1 7 分
由题意可知|加西)一 0(兀2 > V3m 9分
2 2
由Q = 0 , b = l9c =—易证明f(x)A —(兀+1)2在兀W [0,1]上恒成立，
3
/. 72x2 4-1 > ^-(x+l)在 xw[o,l]上恒成立；
由(II)知 J2/+1 <(V3-l)x + lffixe [0,1]上恒成立
/. — (x + l)< 7/(x) < (V3 一 1)兀 + 1 在兀 W [0,1]上恒成立.
又因为当 g [0,1]时，1 —xw[o,l].・.—(l-x+l)< 7/(1-x)<(V3-1)(1-x) + l
1) 5 0(兀)—(V3 - l)x +1 + (V3 -1)(1 -兀)+1
即辰如 M + 1 ©⑴ =V6,冰))唤=旳唤=巧+1
••• |加舛)-。(尢2]max =V3 + 1-V6 > 43m
:.m < 1 d——-V2 . 15 分
3
另解:
(兀_1)2 +—],
(p(x) = V2x2+1 +(2(17)2 +1 = V2[Jx2 +£ +
J2
设 P(%,O),A(O,—),B(1-—),显然 ©⑴=+ |P卑),
H+Hmax =1^+1^=—+—>
max
・•・ g)min =屁 0(兀)max = 1 +巧,
.・.|加坷)- 0(无2 Lx =V3+1-V6 > V3m