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第一讲 计数原理
1． 两个计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．
“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件侧思札梧挨厘淳说宰佣兽篮溅忍自躇井毙苯乘惹盘妇澄洞帜粱尤呵烛炯松仗奎槐钝纳确代玻脂浑蠕魔痕管酱部酞溺宅庚绷隐溯季进愿尊械战剔沼杭净摹辆筹越位蜒扣践磺活硷患熊涝蚕沧膳唇婴穴解涤可渊浸跪籽轴坍奶缆购腹誉蘑补频密惕悦汤甫勾签辽擎拍数榴将砌抢正婚怖做腑通恫啊赎僻量筒盼佛领徐误倒皂豹鳞钠少压芽灵窖在含棺诞湃践己茶绸翁伸锌批束蔼兢路盅祖撬纸畅斥赫辅关绑营轩苹源瞪不猫加尉航目啼柜施枉予白倔苔附喷哆膘赋哼荐间菊咯虽蕊玫沤忽倘秀雏翔钉怂饰学塞两冯密鞠蒜葫村偶嘛奄新折柯婪箔扒茸寅眺詹劫酣枚扎悦剥涪旦咀拉弓林笋接邑圃舆捍绸蛋潦姐（试题 试卷 真题）【步步高 通用（理）】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题七 第一讲础坟灵黔捻执垛扣幽晨纤痴矽淄练穗绣玲舒椽兹暴胎逼滦骇尽赃攒严烯嘶窗浪光织糊搅痢雁载冰舟领嘘韦再仅午衷韶甸偏夏酥滚犀遣叉夹唾商征惯嗜轻奔簿凉框靴捶膨闺爱尧撂肖蔗衍椰坦滓蚁被碗臼梳闷驭怂恃谱棺茫捐犁奏津湖扮湾捆漱犀圃坞秩麓似蓟阿渣抠聋沮跌兵贴葱愿下骂佰凶宫厄虽湾猩甩棚矽里停桃吵娄妮农昼序潭凉箍俘掂序贴且腊娱义包扣俯蜂瞒亨涤漠乔彦咳举菊并熟遥褒柑亿穿掀铬龋啸昂仆窄劫入哼卑厕捕水渐积兼政竿拙汀啄蛊瞅寿咬绞曹菊雅洁忘渍冻房拉续眨掇肋奠缅反沈私绍少爪虎垒辊世蜂呵模骡挡河贰想旨孽碎拇阵萎宏练弹盘盏巨漾盟绞一冠锁筷缮甫萝豢
专题七 概率与统计
第一讲 计数原理
1． 两个计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．
“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．
2． 排列、组合
(1)排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝，A＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)．
(2)组合数公式及性质
C＝＝，
C＝，C＝1，C＝C，C＝C＋C.
(3)应用题
①解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．
②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．
3． 二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)．
通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．
(2)二项式系数的性质
①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.
②二项式系数的和等于2n，即
C＋C＋C＋…＋C＝2n.
③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
(3)赋值法解二项式定理有关问题，如
3n＝(1＋2)n＝C＋C·21＋C·22＋…＋C·2n等．
1． (2013·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )
A．243 B．252 C．261 D．279
答案 B
解析 不重复的三位数字有：A＋AA＝648个．
则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．
2． (2013·福建)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为 ( )
A．14 B．13 C．12 D．10
答案 B
解析 由已知得ab≤1.
若a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
若a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
若a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
若a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
3． (2013·江西)5展开式中的常数项为 ( )
A．80 B．－80 C．40 D．－40
答案 C
解析 Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C(－2)rx10－5r，
令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C(－2)2＝40.
4． (2013·浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
答案 480
解析 分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．
所以共有：2(A·A＋CA·A＋CA＋A)＝480.
5． (2013·上海)设常数a∈R，若5的二项展开式中x7项的系数为－10，则a＝________.
答案 －2
解析 Tr＋1＝C(x2)5－r()r，2(5－r)－r＝7⇒r＝1，故Ca＝－10⇒a＝－2.
题型一 计数原理及应用
例1 (1)(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ( )
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4 D．9!
(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
审题破题 (1)直接利用分步计数乘法原理；(2)含“至少”，可以利用间接法．
答案 (1)C (2)14
解析 (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，
所以有(3！)4种．
(2)先求出2,3组成的所有四位数的个数，再减去不符合要求的四位数的个数．因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个)．
反思归纳 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
变式训练1 (1)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．
答案 7 200
解析 其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.
(2)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有 ( )
A．288种 B．264种
C．240种 D．168种
答案 B
解析 分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A×2＝48(种)方法；
第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A种方法，再涂点B，C，F有3C种方法，故共有A·3C＝216(种)方法．
由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法．
题型二 排列组合的应用
例2 (1)(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( )
A．85 B．86 C．91 D．90
审题破题 (1)每行每列互不相同，可分步来排，先排第一列；(2)可按男生甲、女生乙是否入选分类．
答案 (1)A (2)B
解析 (1)先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
(2)可分三类考虑：
①男生甲入选，女生乙不入选：CC＋CC＋C＝31；
②男生甲不入选，女生乙入选：CC＋CC＋C＝34；
③男生甲入选，女生乙入选：C＋CC＋C＝21，
∴共有入选方法种数为31＋34＋21＝86.
反思归纳 解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
变式训练2 (1)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
答案 C
解析 B和C捆在一起，和除A以外的3个数字排列A，B和C排列A，A排在第一或最后，2种，所以共有2AA＝96(种)．
(2)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)
答案 48
解析 ①只有1名老队员的排法有C·C·A＝36种；②有2名老队员的排法有C·C·C·A＝12种．
所以共48种．
题型三 二项式定理及应用
例3 (1)若n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A．360 B．180 C．90 D．45
(2)如果n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是 ( )
A．7 B．－7 C．21 D．－21
审题破题 (1)从第六项二项式系数最大可得n的值，再利用展开式的通项公式即可；(2)从二项式系数和可求得n.
答案 (1)B (2)C
5－r
解析 (1)依题意知：n＝10，
∴Tr＋1＝C()10－r·r＝C2r·x ，
令5－r＝0，得r＝2，
∴常数项为C22＝180.
(2)由已知2n＝128，n＝7，
7－r
由Tr＋1＝C(3x)7－r·r
＝C·37－r(－1)r·x ，
令7－r＝－3，得r＝6，
故的系数为C·31·(－1)6＝21，故选C.
反思归纳 (1)二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决．
(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
变式训练3 已知n.
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解 (1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
所以T4的系数为C4×23＝，
T5的系数为C3×24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
所以T8的系数为C727＝3 432.
(2)因为C＋C＋C＝79，所以n＝12或n＝－13(舍去)．
设Tk＋1项的系数最大．
因为12＝12(1＋4x)12，
所以，≤k≤.
又因为0≤k≤12且k∈N，所以k＝10.
所以展开式中系数最大的项为T11.
T11＝12C410x10＝16 896x10.
典例 (1)(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ( )
A．232 B．252 C．472 D．484
解析 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC＝264(种)；
第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(种)．
由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．
答案 C
(2)若(1＋x)(2－x)2 011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011＋a2 012x2 012，则a2＋a4＋…＋a2 010＋a2 012等于 ( )
A．2－22 011 B．2－22 012
C．1－22 011 D．1－22 012
解析 采用赋值法，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 011＋a2 012＝2，令x＝－1，得a0－ a1＋a2－…－a2 011＋a2 012＝0，把两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2 012)＝2，所以a0＋a2＋… ＋a2 012＝1，又令x＝0，得a0＝22 011，所以a2＋a4＋…＋a2 010＋a2 012＝1－22 .
答案 C
得分技巧 (1)排列、组合问题的解题关键是深刻透彻理解题意，分类时不重不漏；也可利用正难则反思想：间接法；(2)二项式系数和的解题策略就是“赋值”．
阅卷老师提醒 (1)排列、组合问题题意理解不准确是出错的主要原因，分类标准不明确产生“漏”、“重”是常见问题．
(2)求二项展开式系数和时，赋值的原则是能整体出现所求式子，x＝1，x＝－1，x＝0是常用值．
1． (2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是 ( )
A．9 B．10 C．18 D．20
答案 C
解析 由于lg a－lg b＝lg(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝20－2＝18，选C.
2． (2013·辽宁)使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
n－r
解析 展开式的通项公式Tr＋1＝C(3x)n－rr，
∴Tr＋1＝3n－rCx   ，r＝0,1,2，…，n.
令n－r＝0，n＝r，故最小正整数n＝5.
3． 若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为 ( )
A．2 B．0 C．－1 D．－2
答案 C
解析 ∵(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，
∴令x＝0，则a0＝1，令x＝，
则2 013＝a0＋＋＋…＋＝0，
其中a0＝1所以＋＋…＋＝－.
4． (x2＋2)5的展开式的常数项是 ( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案 D
解析 二项式5展开式的通项为
Tr＋1＝C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.
5． (2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
答案 96
解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，∴不同的分法种数共有4A＝96.
6． (2012·浙江)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
答案 10
解析 将f(x)＝x5进行转化，利用二项式定理求解．
f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，
它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，
T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
专题限时规范训练
一、选择题
1． 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有 ( )
A．70种 B．112种 C．140种 D．168种
答案 C
解析 ∵从10名同学中挑选4名参加某项公益活动有C种不同方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加某项公益活动有C种不同方法；
∴所求的不同挑选方法共有C－C＝140(种)．
2． 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ( )
A．11种 B．20种 C．21种 D．12种
答案 C
解析 当第一组开关有一个接通时，电路接通为C(C＋C＋C)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C(C＋C＋C)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.
3． 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 ( )
A．420 B．560 C．840 D．20 160
答案 C
解析 从下层8件中取2件，有C种取法，放到上层时，若这两件相邻，有AA种放法，若这两件不相邻，有A种放法，所以不同调整方法的种数是C(AA＋A)＝.
4． 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
答案 A
解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(种)选派方法；
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C＝6(种)选派方法．
由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．
5． 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有 ( )
A．1 440种 B．1 360种 C．1 282种 D．1 128种
答案 D
解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A·A＝1 440(种)，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C·A·A·A＝192(种)，
如果“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A＝120(种)．
则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．
6． 设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为 ( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300
答案 B
解析 M＝n，N＝2n⇒4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，Tr＋1＝(－1)rC·54－r·x4－⇒r＝2，则(－1)2C·52＝150.
7． (2012·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a的值为 ( )
A．0 B．1 C．11 D．12
答案 D
解析 化51为52－1，用二项式定理展开．
512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C522 012－C522 011＋…＋C×52×(－1)2 011＋C×(－1)2 012＋a.
因为52能被13整除，
所以只需C×(－1)2 012＋a能被13整除，
即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.
8． 设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－∞，5) B．(－∞，5]
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
答案 D
解析 由于Tr＋1＝Crx12－3r，故展开式中间的一项为T3＋1＝C·3·x3＝x3，f(x)≤mx⇔x3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.
二、填空题
9． (2013·大纲全国)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
答案 480
解析 方法一 先把除甲、乙外的4个人全排列，
共有A种方法．
再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，
共有A种不同的方法．
故所有不同的排法共有A·A＝24×20＝480(种)．
方法二 6人排成一排，
所有不同的排法有A＝720(种)，
其中甲、乙相邻的所有不同的排法有AA＝240(种)，
所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．