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北京市顺义区2012届高三期末第一次统练
数学（文科）试卷
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
得分
选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
1. 已知全集，集合，，( )
A. B. C. D.
，则 ( )
A. B. C. D.
，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数为
A. B. C. D. ( )
4. 执行右边的程序框图，若，
则输出的值为 ( )
A. B.
C. D.
，，，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
6“”是“直线与圆相交”的 ( )
，则其表面积等于 （ ）
A． B. C. D.
2
，其中满足
则函数在区间上是增函数的概率为（ ）
A B C D
(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)
，，，则这三个数由大到小的顺序为_________.(用“”连结各数)
，则_____________.
,点到双曲线的渐近线的距离为______________.
，，，分别为三个内角，，所对的边，且，则的值为_____________.
，，，当时，有，,通项公式__________.
，对都有
,，且时，都有,给出下列命题：
(1)；
(2)直线是函数图象的一条对称轴；
（3）函数在上有四个零点；
（4）
其中正确命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）.
三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
3
15．（本小题共13分）
已知函数，（）
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求的最大值，并指出取最大值时的值.
16．（本小题共13分）
在某次测验中，有5位同学的平均成绩为80分，用表示编号
为的同学所得成绩，且前4位同学的成绩如下：
编号
1
2
3
4
成绩
81
79
80
78
(Ⅰ)求第5位同学的成绩及这5位同学成绩的标准差；
(注：标准差，其中为，的平均数)
（Ⅱ）从这5位同学中，随机地选3名同学，求恰有2位同学的成绩在80(含80)分以上的概率.
17．（本小题共13分）
如图：已知在空间四边形中，，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，,求几何体的体积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若为的重心，试问在线段上是否存在点，使∥平面？若存在，请指出点在上的位置，若不存在，请说明理由.
18．（本小题共13分）
已知函数,(为常数，).
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
19．（本小题共14分）
已知椭圆： （）的离心率
4
，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.
20．（本小题共14分）
已知数列各项均为正数，前项和满足，（），数列满足:点列在直线
（Ⅰ）分别求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，且，求；
(Ⅲ)若对任意的不等式
恒成立，求正实数的取值范围.
北京市顺义区2012届高三第一次统练
高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
C
D
A
B
D
(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分
9.；10． ； ；11.；12．；13．；
14.(1)（2）（4）；
三．解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）
————4分
周期，————6分
（Ⅱ）当，
即时，————10分
5
.————13分
16.（本小题共13分）
（Ⅰ）
，————3分
，（本小题共13分）（Ⅱ）从这5名同学中随机选3名同学的情况可列举为
共10种，—9分
恰有2位同学成绩在分以上记为事件，————10分
.————13分
17．（本小题共13分）
（Ⅰ）证明：，为中点，
，———1分
同理，又
平面，————3分
平面
平面平面————5分
(Ⅱ) ,
,,同理，———7分
又，
.————9分
(其它方法给相应分数)
（Ⅲ）假设在上取一点，使∥平面.
记的中点为，在上取一点，
使，则， —11分
为的重心，，；
又平面，平面，
平面，
故在上存在一点，使，则有∥平面.—13分
18．（本小题共13分）
6
解：（Ⅰ）
；——2分
当时，，，
令，，，
函数在递减，在递增. ———5分
函数在时取得极小值；————7分
（Ⅱ）由（1）知
令，，，————9分
由当时，，
当时在递增，在递减；———11分
同理时，在递减，在递增； —13分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由已知，解得————2分
椭圆的方程为：.————4分
（Ⅱ）消去得：，————5分
椭圆与直线有两个不同的交点，，即，————6分
设，，的中点
7
，，
，，————8分
设，，，解得，————10分
，，
，————12分
当即时，面积最大为————14分
20．（本小题共14分）
（Ⅰ）由已知， （1）
当时， （2）两式相减整理得：
，————2分
注意到，，，又当时，，解得适合，，————3分
点列在直线上，.————4分
(Ⅱ),
=
,错位相减得
.————8分
（Ⅲ）对任意的不等式
恒成立，由，
8
即，———9分
令，——10分
，
，单调递增，————12分
. .————14分