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理科数学
2018. 1
本试卷共5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1・本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务 必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在 答题卡的相应位置填涂考生号。
作答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他签案。写在本试卷 上无效。
第II卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，，只 有一项是符合题目要求的.
设全集U二N*,集合A二{1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6},则图中的阴影 部分表示的集合为（ ）
A. {2} B. {4, 6} C・{1, 3, 5} D. {2, 4, 6}
已知i是虚数单位，复数z满足（i- l）z=i,则z的虚部是（ ）
A.
已知M是抛物线C： y=2px （p>0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|二p, K是抛物 线C的准线与x轴的交点，则ZMKF=（ ）
A. 45° B. 30° C. 15° D. 60°
在区间［0, 丁］上任选两个数x和y,则y Vsinx的概率为（ ）
D.
A.
已知f （x）二sinx+J^cosx （x€ R）,函数y二f （x+e）的图象关于直线x=0对称，则4）
的值可以是（
A.
兀
~2
B. 71
C-T
D.
正锲图 卸觇图
6. 一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径 最接近（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
，若输入x=20,则输出的y的值为()
A. 2 B.
A. 0条
3 D- "I
截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平而a平行的棱有( )
B. 1条 C. 2条 D・1条或2条
-1 C.
x - 21 +1 y的最小值是( )
, y
A. 6 B. 5 C- 4 D・ 3
2
X
-
2
V
分1 (a>0, b>0),过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A, B
两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范禺是( )
A. (1,
B. (1, 2) C.
+°°) D. (2, +8)
11-关于曲线C： x2 + / = 1给出下列四个命题:
(1)
(2)
(3)
曲线C的长度/满足1〉4迈
曲线C所围成图形的面积S满足tt<S<4
(4)
上述命题正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
12•定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=三f(x),当xG [0,2]时,f(x)=
函数 g (x) =x:{+3x2+ se [ - 4, - 2),存在 t e [ - 4,
(t) 20成立，则实数m的取值范围是( )
・2),不等式f (s) - g
A. (-8, 12] B. ( - OO, -14] c. ( - OO, 8] D. (-8,
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
,
则展开式中含X?项的系
数是
曲线C有两条对称轴，一个对称中心 曲线C上的点到原点距离的最小値为1
两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排 在一起的概率为—.
an 为偶数
已知数列仏｝满足：®为正整数，勺+|二2’ " ，如果⑷二1，贝IJ
3d” + 1,为奇数
CXf| I ^^2 I ^^3 I •••• I ^^2018 •
：〜21题为必考 题，每个试题考生都必须做答•第22、23题为选考题，考生根据要求做答.
(一)必考题：共60分.
在△/坎？中，/, “，C所对的边分别为已，b, c, _aV2e?sinJ=(V2Z?-c)sin B+丽c —6) sin C.
求角力的大小；
若白=倾，cos〃=羊，〃为/C的中点，求勿的长.
如图，在四棱锥E - ABCD屮，Z\ABD是正三角形，Z\BCD是等腰三角形，ZBCD=120° ,
EC 丄 BD.
求证：BE=DE；
若AB二2亦，AE二3逅，平面EBD丄平而ABCD,直线AE 与平面ABD所成的角为45°，求二面角B - AE・D的余弦值.
据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为 抑制房价过快上涨,政府从8月份 采取宏观调控措施，10月份开始 房价得到很好的抑制.
地产数据研究院研究发现，3 i. 5 月至7月的各月均价y (万元/平 方米)与月份x之间具有较强的线 1 性相关关系，试建立y关于x的冋o., 归方程(),政府 若不调控，依次相关关系预测第 12月份该市新建住宅销售均价；
地产数据研究院在2016年的12个月份屮，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若 关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.
5 I 5 5 _ _ |
参考数据：工X二25,工y乂二5. 36, 1 (Xi-x) (yi-y)(说明:：以上数据旺J i=l I 口 勺 i=l
为3月至7月的数据)
冋归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n _ _
E (Xj-x)(yj-y)
C1 i=l — —
涉 n 2 ' d =y~ b*
Z (X£-X)2
i=l
2 2
已知椭圆E：七 +苓1 (a>b>0)的左焦点A与抛物线yJ・4x的焦点重合，椭圆E a b
的离心率为乎，过点M 5, 0) (m>|j)作斜率不为0的直线1,交椭圆E于A, B两点，
点p(环0),且莎•瓦为定值.
求椭圆E的方程；
求AOAB面积的最大值.
己知函数f (x)二ax+lnx,其中a为常数，设e为自然对数的底数.
当沪・1时，求f (x)的最大值；
若f (x)在区间(0, e］上的最大值为-3,求a的值；
设g (x)=xf (x),若a>0,对于任意的两个正实数X), X2(x】Hx2),证明:2g(———
<g(Xi) +g(X2)・
(二)选考题：、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题计分.
x=3-#t
在直角坐标系xOy屮，直线1的参数方程为｛ (t为参数)，在以原点0为极
尸4+夢t
点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为P=6sin0・
(1)写出直线1的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)设点P(3, 4),直线1与圆C相交于A, B两点，求,
已知函数 f (x) =|x - 2 | + |2x+l |.
解不等式f (x) >5；
（5分）
（6分）
所以 cos 6—cos[兀—(〃+〃)] = —cosC4+Q =
V10
10
8分
由正弦定理得力=^牛=— =2,
sm A ^2
（9分）
广东省五校协作体2018届高三第一次联考
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
D
A
D
C
C
B
D
C
二、填空题：每题5分，满分20分.
1 9
13. -56 14. 一― 15. 一 16. 4709
4 10
三、解答题：满分70分.
（1）因为寸^日sin A= （y[— c） sin B-\- （^2c_Z?） • sin C, 由正弦定理得c） b+ （£c— ◎ c, （1 分）
整理得££=£用+y/^；—2bc, （2 分）
亠人卄宀蚀如 ・y[ibc y[2 八八、
由余弦疋理得cos A— = 2比 =2' （4分）
因为外丘（0,兀），所以/=专・
2、斥
由 cos B=善，得 sin B=yj\ _cos'3=
所以 CD=^AC= 1, （10 分）
在△〃力中，由余弦定理得 胁=（pT5）2+12—2X1X倾x（—晋^=13,…（11分）
所以砂伍. （12分）
证明：（I ）取BD中点0,连结CO, E0,
VABCD 是等腰三角形,ZBCD=120° , ACB=CD, .・.C0丄BD, （2 分）
又 VEC±BD, ECQC0二C,.・.BD丄平面 EOC, AE01BD, （4 分） 在ZXBDE中，TO为BD的中点，・・・BE二DE.
（II ） T平面EBD丄平面ABCD,平面EBDA平面ABCD=BD,
E0丄BD, •••E0丄平面 ABCD,
又TC0丄BD, A0丄BD, •••A, 0, C三点共线，AC丄BD,
以0为原点，0A为x轴，0B为y轴，0E为z轴，建立空间直角坐标系, 在正Z\ABCD 中，AB二2\/1，.・.A0二3, B0二D0二逅,
（5分）
（6 分）
（7 分）
（8分）
A （3, 0, 0）, B （0,逅，0）, D （0, ■逅，0）, E （0, 0, 3）,
AB=（・ 3, 0）, AC尸（■ 3, -0）, AE二（~ 3,
0,
3）,
（9分）
设平面ABE的法向量讣（a, b, c）,
w|n^-3a+V3b=0
I nwAE=-3a+3c=0
,取沪1，得〒二（1, 1）,
（1 o 分）
设平lk| ADE的法向量住（X，” z）,
则I •呼3皿鬥
Im* AE=-3x+3z=0
设二面角B-AE-D为（），
则 cos 0
in* n
5-
,収X=1 ,得E
（11 分）
T直线AE与平面ABD所成角为45° , .\E0=A0=3,
（12 分）
・・・二面角B - AE - D的余弦值为寺.
解：（I ）由题意
X
1
2
3
P
1
27
27
55
55]
55
（11 分）
解:（I ）设 Fi （ -C, 0）,
•・•抛物线y2=・4x的焦点坐标为（-1,0）,且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=・4x的焦点重
合，.*.c=l, （1 分）
又椭圆E的离心率为乎，得a二迈， （2分）
于是有 b2=a2-c2=l.
月份X
3
4
L
□
6
7
均价y
0. 95
0. 98
1. 12
玄5, y =, (1 分)
5 o
52 (xi-x)2 =io, i=l
（2分）
n _ _
E (xi-x)(y£-y) ・・・^4~=— f (Xi-X)2 i-1
二0. 064,
（3分）
（4分）
•••从3月到6月,y关于x的回归方程为y=0. 06x+0. 75,
(5分)
x二12时，；（6分）
(II) X的取值为1, 2, 3,
X的分布列为
CJX33
271
r
_55
（7分）
P (X二3)
（10 分）
,P (X=2)二1 - P (X二1 ) - P (X二3)二
E (X) =1X吉+2X
27松
55
27 136
55 _ 55 ；
（12 分）
故椭圆r的标准方程为：孕+yJl. （3分）
(Il)设 A (xi, yi), B(X2, y2),直线 1 的方程为：x=ty+m,
(x=ty+m
x2+2y2=2
整理得(t?+2) y"+2tmy+nf - 2-0
（4分）
9
（5分）
-2tm m -2
y\iy2=~2~，y#2 —/
t2+2 tz+2
PA二（X［号，y !）> PB=（x：）|
PA・PB 二（X］今）（七-|-）+卩°2 二
5
x2-|(x1 + x2)+||+y1y2
> 5 5
=(t2+l ) Viy2+ (tin - ~t) (yi+y?) +m2 -—
要使莎•呪为定值，则
（7分）
m2f2
1 ■
2
2
,解得或（舍）
（8分）
当 ni=l 时，| AB | 討［+FI yi - y21 =•
2V2(l+t2)
t2+2
（9分）
点0到直线AB的距离
（10 分）
IV2X——
（11 分）
/ 2
A0AB 面积 s=^2 X-:打
宀2
・•・当t二0, A0AB面积的最大值为乎,
（12 分）
解：（1）易知f （x）定义域为（0, +8）,
f 1 1 —V
当 a=-l 时，f （x） = - x+lnx, f （X）二T+—二_"， （1 分）
x x
令 f‘ （x）二0,得 x=l.
当 0<x<l 时，f‘ （x） >0；当 x>l 时，f‘ （x） <0,
・・・f （x）在（0, 1）上是增函数,在（1, +8）上是减函数. （2分）
f （x）环二f （1） =- 1.
・•・函数f （x）在（0, +<-）上的最大值为・1, （3分）