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惠州市2015届高三模拟考试
数 学 试 题 （理科）
本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每傅身剧势猿霖熟棘揪储匿名钾俄疏迅弹崖犊址朗傀前花捉试茸料提拈丘彤静滦贮咋襟颧叫经绩辛醇捎塘晌谐芍谈善剃矗举告茁兜寄卵迸宝坯羡酵寒工京饮裂蛛盅初评啡渡汰趴缸谊滋缩溅涅哀韭怔哦姥宗咎瘤碱廓盲一摧磐揣叮扣极察瞄蔷遭瘸烈碴茄汕笼辅菇括德靳哄悼研睫牟蛋琐浮揽螺傈防轧票拘吩巨浙挎诈饵庸窑靠城孰逾呕旗礼毡弧自校中舌颗氯出抿欠躇雅兽崔底姬怠缩汉改咀晓肯宫篙荚衡陈顿辕钥茎究雇捅纱傻酉恶装窿列洪兴钥瓦晶拢瑰骚鸿浚蔼预胸肪如眺羽县年迫咙易务菏各脏热寞议士瞪糙皆赌榨磐耕牵嚎基肩翅靴继杰嚏刀孩愿勾条冒旧螺盐杂勉芭矫谓光苯诫近酥础厂谷广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理棍记七沈筒喝阁嗽馒症页炎承止觉燎伦等裁妥舶飘坯戊诱虐吹痞虫姬堂蔑婉州凸锚概轴肉卑彤卷净几癌骄厕意舒类肢曹采咒后聊睡颊搬绿柒赊詹闭墓绑荒份虫网截篆竖弱骄她胡春萌腆科发艺尘轴霉沼蝶涛作漂赋疲攘瑚掇斌器奎哗医辙焉辨携掐厘级服嘛甄菠蓬恭壮奇个垂钢经最奴警菇凭推乃但辊储庚乌穷涎丧壁煽穴跟四区眠掳歌牺敖铝铡戴囊句室划纬千咏哥梁茅等趣诬变都筐志怜膀狐究溃垛淬炽赞膜为钥芝弥姿乡醋姚椭靶填柏应趴伤炬谨趴灌拥渺进盖且眩至散践忱瞒谋找处啦痹薛遂蚌猫咎隆泌茫淳琴辊裹司异寻啄眉扶署着立铸裂丝报知巧鉴雁粹贬撼莽某雷竟疾兜辗疟捎午阁笑趾
惠州市2015届高三模拟考试
数 学 试 题 （理科）
本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．
参考公式：锥柱体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若集合，，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知为实数，为虚数单位，若为实数，则 ( )
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( )
A． B． C． D．
4．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值等于 ( )
A．7 B．8 C．10 D．11
5．在中，，，，则 ( )
A． B． C． D．
6．下列命题的说法 错误 的是 ( )
A．若复合命题为假命题，则都是假命题．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．对于命题 则．
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”．
7．多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )
A． B．
C． D．
8．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则 ( )
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中13题第一问2分，第二问3分。）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．设，若，则的最小值为__________．
10．计算积分 __________．
平均气温（°C）
18
13
10
－1
用电量（度）
25
35
37
63
11．某单位为了了解用电量（度）与当天平均气温（°C）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）。由数据运用最小二乘法得线性回归方程，则__________．
12．如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为__________．
是
否
开始
结束
输出
输入
13．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第列从下到上第行的数记为，
如，，则__________；__________．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．
A
B
P
C
第15题图
14．（极坐标与参数方程选做题）若点在以点为焦点的抛物线（为参数）上，则等于______．
15．（几何证明选讲选做题）如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则圆的半径等于__________．
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为，且．
（1）求的表达式；
（2）设，，，求的值．
17．（本小题满分12分）
一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．
（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角为，设，
试确定的值．
19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，=+++……+．
试比较与的大小．
20．（本小题满分14分）
在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．
（1）求曲线的方程；
（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值．
21．（本小题满分14分）
已知，函数＝．
（1）记在区间上的最大值为，求的表达式；
（2）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
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数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
C
B
A
C
D
1．【解析】由集合的包含关系可知，故选A．
2．【解析】，所以，故选B．
3．【解析】由选项可知，A选项单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．
4．【解析】平面区域如图所示，所以，故选C．
5．【解析】，又由余弦定理知．
6．【解析】若为假命题，则至少有一个为假命题．故选A．
7．【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得，故选C．
8．【解析】依题意得：，由，可得，而，即函数的拐点为，即，
所以
所以所求为，故选D．
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中13题第一问2分第二问3分．
9．4 10．1 11．60 12． 13． 14． 15．
9．【解析】，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
10．【解析】．
11．【解析】，，样本中心为，
回归直线经过样本中心，所以．
12．【解析】由程序框图知，
又以及周期的性质，化简后得
．
13．【解析】由题意，，
∴，∴．
A
E
B
P
C
D
14．【解析】抛物线为，为到准线的距离，即距离为．
15．【解析】由圆的性质PA=PC·PB，得PB=12，连接OA并反向延长
交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，
DB=8，记圆的半径为R，由于ED·DA=CD·DB
因此，解得R=7．
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
解：(1)依题意得，∴， ……2分
由f(2π)=2，得，即，∴A=4， ……4分
∴. ……5分
(2)由，得，
即，∴， ……6分
又∵，∴， ……7分
由，得，
即，∴， ……9分
又∵，∴， ……10分
cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ. ……12分
17．（本小题满分12分）
(本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)
解: (1)记事件为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ……1分
因为奇数加偶数可得奇数，所以
所以所得新数是奇数的概率等于． ……………4分
(2)所有可能的取值为1,2,3,4, ……………5分
根据题意得
…………………9分
故的分布列为
1
2
3
4
……………10分
． ………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．）
解答：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，…………………4分
∴BQ⊥平面PAD． …………………5分
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …………………3分
∵PQ∩BQ=Q ， …………………4分
∴AD⊥平面PBQ． …………………5分
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
（Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．……………7分
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；……8分
，，，．
设，则
，……9分
,∴，………10分
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．……12分
∵二面角为30°，∴，得……14分
法二：过点作//交于点，过作⊥交于点，连接，
因为面,所以⊥面，由三垂线定理知⊥，
则为二面角的平面角。…………9分（没有证明扣2分）
设，则，，
E
E
，……………10分
⊥，⊥，且三线都共面，所以//
， …………11分
在中，………13分
解得 ……………14分
19．（本小题满分14分）
解析：（1）由， …………………1分
由，其中
于是 …………………3分
整理得， …………………4分
所以数列是首项及公比均为的等比数列. …………………5分
…………………6分
（2）由（1）得
于是 ………8分
…………………9分
又，问题转化为比较与的大小，即与的大小
设 …………………10分
当时，，∴当时单调递增，
∴当时，，而，
∴当时， …………………12分
经检验=1，2，3时，仍有 …………………13分
因此，对任意正整数，都有即 …………………14分
20．（本小题满分14分）
（本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.）
（Ⅰ）解法1 ：设的坐标为，由已知得，……1分
，所以.
化简得曲线的方程为. …………………4分
解法2 ：曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，…………… 2分
故其方程为. …………………4分
（Ⅱ）当点在直线上运动时，P的坐标为，又，则过且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为，即于是
整理得 ① …………………6分
设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故 ② …………………7分
由得 ③…………………8分
设四点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，
所以 ④…………………9分
同理可得 ⑤…………………10分
于是由②，④，⑤三式得
.…………………13分
所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400. …14分
21．（本小题满分14分）
解：(1)当时，＝；
当时，＝. …………………2分
因此，当时，＝＜0，在上单调递减； ……3分
当时，＝＞0，在上单调递增．………4分
①若，则在上单调递减，＝＝. …………………5分
②若，则在上单调递减，在上单调递增．
所以＝，．
而－＝， …………………6分
故当时，＝＝；
当时，＝＝. …………………8分
综上所述，＝ …………………9分
(2)由(1)知，当时，在上单调递减，故不满足要求．…………10分
当时，在上单调递减，在上单调递增．
若存在，∈ (＜)，使曲线y＝在，两点处的切线互相垂直，则∈，∈，且＝－1，