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得分
评卷人
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分， 四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
(1)与向量a =(12,5)平行的单位向量为()
/ 12 5、
B (飞 F)
D. (±—,±—)
13 13
(2)函数 y = y/x2 -2x-3 + log2(x + 2)的定义域为()
A.. (-oo,-l)U(3,+oo)
B. (—® —l]U[3,+a)
D. (_2,_l]U[3,+a>)
“、二卄10 8 6 10
(3)己知样本：
8 9 11 9
13
12
(
10
10
12
11
11
12
7
12
A. 〜 B.
(4)己知直线m. n和平面a,
n// a
C. 〜
〃 ot,
(5)若正数a、
〜
则m 〃斤的一个必要条件是( )
B •加丄a , ”丄ci
、〃与(X成等角
)
nu a
b满足db = a+b + 3,则a+ b的収值范围是(
D. 〜
A. [9,+00)
B • [6,+00)
C- (0,9]
D. (0,6)
2 2
设双曲线二一・ = l(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率 CT b厶
为( ) B. + ' C. D. V3
2 2
若函数(xeR)+2冃>),且xw(—1,1］时,张)*|・则函数yg)的图象与函数y=log4W
的图象的交点的个数为( )A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
7
已知点P是抛物线/=2x±的动点，点P在y轴上的射影是M ,点A的坐标是A(—,4),
11 9
贝 9|PA| + |PM| 的最小值是( )A. — B. 4 C. - D. 5
2 2
已知函数y = /(%)的图象与函数y = 2^ -1的图象关于右线y = x对称，则/(3)的值为
()A. 1
B. —1
C・2
D・一2
能够使得圆兀2 + y2 _2无+ 4y +1 = 0 I於有两个点到直线2x+v + c = o距离等•丁- 1的C的一
个值为( )A. 2 B. V5 C. 3 D. 3^5
关于兀的不等式ax-b>0的解集是(l,+oo)，则关于x的不等式竺二@ >0的解集是()
x — 2
A. (-oo,-l)U(2,+oo) B. (-1,2) C・(1,2) D・(・oo, 1)U(2,+oo)
由()，1, 2, 9这十个数字组成的、无重复数字的四位数屮，个位数字与百位数字之差的
绝对值等于8的个数为( )
得分
评卷人
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，.
速度为|玄+云I；另一动点Q，从
如图，□知点E是棱长为2的正方体AC；的棱人勺的屮点，则点A到平面EBD的距离等于 14)若匕=1 + 2 + 3 +・・・+ /1 ,贝U数歹1」｛丄｝的前〃项和
S” = ・
0 0 |
已知sin— + cos— = —,Mcos23 = .
2 2 2
有两个向量£ = (1,0), e? =(0,1),今有动点P,从
人(-1,2)开始沿着与向量e} + e2相同的方向作匀速直线运动, 0(-2,-1)开始沿着与向量3石+ 2石相同的方向作匀速直线运动，速度为|3石+ 、Q在时刻
20秒时分别在坨、Q()处,则当胶丄柩时，2 秒.
得分
评卷人
三、解答题：本大题6小题，，证明过程或演算步骤.
(本小题满分12分)
某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.
检办法规定：从每盒1()件A产品屮任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合 格；否则，.
(I )求该盒产品被检验合格的概率；
(II)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率.
得分 评卷人 (18)(本小题满分12分)
己知偶函数f(x)=cosQsinx—sin(x—0)+(tanO—2)sim: — sin0的最小值是0,求/(x)的最大值及此 时兀的集合.
得分
评卷人
(19)(木小题满分12分)
ABAC = 90°, £＞为棱BB】的屮点•
C
*1
D
B
如图，玄三棱柱ABC-A^C,屮，AB = AC=丄
2
(I)求异面氏线CQ与所成的角;
得分
评卷人
平行.
(20)(本小题满分12分) 函数/W满足:①在尸1时有极值;
(II )求证：平面AXDC丄平面ADC .
A
②图象过点(0,・3),且在该点处的切线与直线2兀+)=0
得分
评卷人
（21）（本小题满分12分）
等岸数列也讣屮，勺=2，公差〃是自然数，等比数列｛也｝屮，b｝=a｝＞b2=a2.
（1）试找川一个d的值，使｛化｝的所有项都是｛%｝中的项；再找出一个d的值，使｛化｝的项不都 是｛%｝中的项（不必证明）;（II）判断d=4时，是否｛仇｝所有的项都是也讣中的项，并证明你
得分评卷人
的结论；（III）探索当且仅当d取怎样的自然数时,｛bn｝的所有项都是｛%｝中的项，并说明理由.
2
（22）（本小题满分14分）如图，已知过点D （-2,0）的直线Z与椭圆—+y2=l交于
不同的两点A . 点M是弦AB的中点•（I）若丽=刃+面，求点P的轨迹方程;
M求腸的取值范輒
参考解答
一、 选择题：每小题5分，满分60分.
(1)C (2)D (3) B (4)D (5) B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C
二、 填空题：每小题4分，满分16分.
V6 2n 1
(13)—； (14)— ; (15)--； (16)2.
3 /? + 1 8
三、 解答题
(17)(本小题满分12分)
解:(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为C：。种， 1'
其屮次品数不超过1件有©+C；C；种,
2'
被检验认为是合格的概率为C+产；
5
4,(本步正确，对上两步不作要求)
13
_15
(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，
13
因两次检验得出该盒产品合格的概率均为一，
15 故“两次检验得出的结果不一致程卩两次检验中恰有一次是合格的概率为
C；孰器)
_ 52
_ 225
6’
10
11
13 52
答：该盒产品被检验认为是合格的概率为一；两次检验得出的结果不一致的概率为——
15 225
12’
说明：两小题中没启简要的分析过程，各扣1分.
(本小题满分12分)
解:f{x)=cosQsinx—(simcosB—cosxsin0)+(tan0 — 2)siru—sin0
=sinOcos%+(tanO—2)sinx—sin0 T
因为几兀)是偶函数，
所以对任意xwR，都有f(—x)=f(x), 2Z
即 sin0cos(—x)+(tan0—2)sin(—x)—sin0=sinOcosx+(tanO — 2)sinx—sin0,
即(tan0—2)siru-0,
所以 tan0=2 5'
2a/5
V5.
5
sin2 & + cos? & = 1,
sin0 =
解得<
COS& =
此时，f(x)=smd(cosx — 1).
2a/5 2a/5
9'
当sin0= 时，fix)= (cosx— 1)最大值为0,不合题意最小值为0,舍去;
5 5
当s"半时5)-半
(cosx—1)最小值为0,
当COSX=-1时，.心)有最人值为迈,
ir
0 变量 x 的集合为{x\x=2kn-^n,kcZ}.
12'
(本小题满分12分)
解法一：
(I)建立如图所示的空间直角坐标系.
设 AB = a ,
则人(0,0,2。),C(0,a,0),G (0,a,2a),D(a,0,a),
于是 C,D = (a,-a,-a)y A}C = (0,a,-2d).
•/ cos < CXD,AXC >=
6Z
B
yf3a • yj~5a 15
0-a2 + 2a2 \/\5
则 cq = JcX + Bp = VL
t AjD = (a,0,-a), AD = (a,O,a), AC = (0, a, 0),
A}D ♦ AD = a2 + 0 - / = 0,4D • AC = 0 .
则乖丄巫,丽丄入0 • io，
. 又A,Du平面A}CD , ⑴
・•・平面A}DC丄平面ADC・ I?，
解法一：
(I )连结AC；交AC于点E,取AD屮点F,连结EF,则EF // C}D .
・・・直线EF与AC所成的角就是异面直线C{D与AC所成的角
设 AB = a ♦ r
AXC = y]AC2+AA^ = 4^a
AD =』AB? + BD? = 41a
△CEF 中,CE^-A^C^—a , £F=-C1£)=—
2 2 2 2
直三棱柱中，ZBAC = 907,则AD丄AC.
2 2
(II)直三棱柱中,ZBAC=90\ :.AC 丄平 W ABB^ .
则 AC 丄 A}D.
又 AD = yjla , A(Z) = y/~2a ♦ AAy = 2a ,
则 AD2 + A}D2 = AA" f •丁•是 AZ)丄 A£・ 10'
/. A}D 丄平面 ACD . 乂 AQu平面 A}CD ,
・••平丄平lk|' ADC .
（20）（木小题满分12分） 解：（I）设Rx）=dF+bx+c,则fr（x）=2ax^b.
广(1) = 0,
2a + b = 0,
由题设可得:
广(0) = —2,即 b = -2,
4'
/(0) = -3,
3i
X d = 1，
解得 < b = -2, 5'
c = —3.
所 以 夬兀)=<・2「3 6'
(II) ^(x)=^(x2)=x4—2,—3, g z(x)=4x3—4x=4x(x —1 )(x+1) &
列表：
所 以 夬兀)=<・2「3 6'
(II) ^(x)=^(x2)=x4—2,—3, g z(x)=4x3—4x=4x(x —1 )(x+1) &
列表：
X
(・00,・l)
■1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(l,+8)
f(x)
—
0
+
0
—
0
+
/
/
ir
由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（-1,0）, （l,+oo） 12'
（21）（木小题满分12分）
解：（I ） d=0时，｛©｝的项都是｛仇｝中的项； 2,（任一非负偶数均可）
6’
〃=1时•，｛色｝的项不都是｛化｝中的项 3’（任一正奇数均可）
(JI ) d = 4 时，afl = 4n -2 = 2(2n — 1),
4f