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{教育管理}高三理科
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二、填空题：本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请把参考答案填写在答题卡中的横线上．
9．用 ,到达精度 ,需要 次试验(参考值)
10．如图是篮球联赛中,甲乙两名运动员某
赛季一些场次得分的茎叶图,则平均得分高的运
动员是
．
11．对任意非零实数,若的运算原理如下图所示,
则___ ___．
12．在等比数列中,,则
13．设,则的最小值为 ．
14．如图,是⊙的直径,是⊙上一点,的平分线与⊙相交于．已知,,则
；过、分别作
⊙的切线,则这两条切线的夹角
．
15．在计算“”时,某同学学到了如下一种方法：先改写第 k项：由此得
…
相加,得
类比上述方法,请你计算“”,其结果为
A
三、解答题：本大题共 6 小题,共 75 分解答应写出文字说明,
演算步骤．
证明过程或
O ·
D
16．（12分）已知向量,函数的
图像上一个最高点的坐标为,与之相邻的一个最低点的坐标. B
（1）求的解析式.
C
（2）在△中,是角所对的边,且满足
,求角的大小以及取值范围.
17．（12 分）如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边
形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 AG=GD,BG⊥GC,
GB=GC=2,E 是 BC 的中点,四面体 P—BCG 的体积为．
（1）求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值；
（2）若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求的值．
18．（12分）“甲型 H1N1流感”已经扩散,威胁着人类．某两个大国的研究所 A、B,若独立
地研究“甲型 H1N1流感”疫苗,研制成功的概率分别为；若资源共享,则提高了效率,即他们
研制成功的概率比独立地研究时至少有一个研制成功的概率提高了 50%.又疫苗研制成功可获
得经济效益万元, A研究所参谋:
是否应该采用与 B研究所合作的方式来研究疫苗,并说明理由.
19．（13分）已知函数．
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（1）当时,证明函数只有一个零点；
（2）若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围．
20．（13分）某旅游景区的观景台 P 位于高（山顶到山脚水平面 M 的垂直高度 PO）为的山峰
上,山脚下有一段位于水平线上笔直的公路 AB,山坡面可近似地看作平面 PAB,且为等腰三角
形．山坡面与山脚所在水平面 M 所成的二面角为（0°＜＜90°）,且．现从山脚的公路 AB 某处
C 开始修建与公路 AB 成角的盘山公路 C C ,C C ,C C ,……,C C （如图所示）．其中 0＜＜
0
0 1
1 2
2 3
n-1 n
90°,sin=
(1)试问：垂直高度每升高 100米,盘山公路需修建多长？若修建盘山公路至半山腰（高度为山
高的一半）,在半山腰的中心 Q 处修建上山缆车索道站,索道 PQ 依山而建（与山坡面平行,离
坡面高度忽略不计）,问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
（2）若修建盘山公路为 x,其造价为万元．而修建索道的造价为 2a 元/．问修建盘山公路至多
高时,再修建上山索道至观景台,总造价最少．
21．（13分）已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,短轴长为 2,且两个焦点和短
轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于、两
点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线的斜率为 1时,求的面积；
（3）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？
若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.
长沙地区四县（市）2010届高三统一考试试卷
理科数学
参考参考答案
一、选择题（四川新课改）：ACDBACBD
二、填空题：9．6 10．甲 11．1 12．
13．8 14．15．
[
三、解答题：
16．（1）
（4分）
,所以,于是
（7分）
（2）∵,∴,
4
又,∴（9分）,
∵,∴,可知
（12分）
17．（1）由已知
∴PG=4（2分）
则
（12分）
解法二：
（1）由已知
∴PG=4
在平面 ABCD内,过 C点作 CH//EG交 AD于 H,连结 PH,则∠PCH（或其补角）就是异面直
线 GE与 PC所成的角.
在△PCH中,
由余弦定理得,cos∠PCH=
∴异面直线 GE与 PC所成角的余弦值为
（2）在平面 ABCD内,过 D作 DM⊥GC,M为垂足,连结 MF,又因为 DF⊥GC
∴GC⊥平面 MFD,∴GC⊥FM
由平面 PGC⊥平面 ABCD,∴FM⊥平面 ABCD∴FM//PG
由 GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=
∴函数在区间上单调递增,在区间上单调递减
∴当 x=1时,函数取得最大值,其值为．
当时,,即．
∴函数只有一个零点．……………………6分
（Ⅱ）显然函数的定义域为
∴………7分
①
②
当时,在区间上为增函数,不合题意……8分
当时,等价于,即[网]
此时的单调递减区间为．
依题意,得解之得．………10分
当时,等价于,即
③
此时的单调递减区间为,
∴得………12分
综上,实数的取值范围是…………13分
法二：
5
①当时,在区间上为增函数,不合题意……8分
②当时,要使函数在区间上是减函数,只需在区间上恒成立,只要恒成立,
解得或
综上,实数的取值范围是…………13分
20．（1）在盘山公路 C C 上任选一点 D,作 DE⊥平面 M 交平面 M 于 E,过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于
0 1
F,连结 DF,易知 DF⊥C F．sin∠DFE=,sin∠DC F=
0
0
∵DF=C D,DE=DF,∴DE=C D
0
0
所以盘山公路长度是山高的 10倍,索道长是山高的倍．所以垂直高度每升高 100米,盘山公路
需修建 1000米．
从山脚至半山腰,盘山公路为 10．从半山腰至山顶,索道长 ．……6分
（2）设盘山公路修至山高 x(0＜x＜2),则盘山公路长为 10x,索道长．[来
设总造价为 y 万元,则 y==(10)a+10
令 y′=
当 x∈（0,1）时 y′＜0,函数 y 单调递减
当 x∈（1、2）时,y′>0,函数 y 单调递增
∴x=1,y 有最小值,即修建盘山公路`至山高 1时,总造价最小．……13分
解：（1）由已知,椭圆方程可设．------1分
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为 2,
∴．
所求椭圆方程为．-------4分
（Ⅱ）右焦点,直线的方程为．
设,
由得,解得．
∴．-------8分
6
∴
．
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分
科教兴国