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柯城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f（x）＝若f（－6）＋f（log26）＝9，则a的值为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
2． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥，问它的体积是（ ）
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
3． 点A是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4． 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ）
A． B． C． D．
5． 已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A． =﹣+ B． =+ C． =2x﹣ D． =﹣2x+
6． +（a﹣4）0有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．2≤a＜4或a＞4 C．a≠2 D．a≠4
7． 若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
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A．-5 B．-4 C.-2 D．3
8． 已知函数，其中，对任意的都成立，在1
和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为，则（ ）
A． B． C． D．
9． 已知函数f（x）=3cos（2x﹣），则下列结论正确的是（ ）
A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数
D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到
10．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子+的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．13
11．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（ ）
A．②④ B．③④ C．①② D．①③
12．数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+2，a5+3构成公比为q的等比数列，则q=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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二、填空题
13．若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_____；双曲线C的渐近线方程是____．
14．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，则
与平面所成角的正弦值为______________.
【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
15．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
①若AC=BD，则四边形EFGH是 ；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH是 ．
16．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．
17．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
18．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ．
三、解答题
19．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
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20．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．
21．如图，已知AC，BD为圆O的任意两条直径，直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．
（Ⅰ）证明AD⊥BE；
（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．
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22．若数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在y=x的图象上（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有，求证：对任意正整数n≥2，总有．
23．（本题满分15分）
设点是椭圆上任意一点，过点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点．
（1）求证：；
（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
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24．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
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柯城区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】（a＋6）＋2log26＝9.
即log2（a＋6）＝3，
∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.
2． 【答案】
【解析】解析：
，设E、F在平面ABCD上的射影分别为P，Q，过P，Q分别作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，连接EH、GH、FN、MN，则平面EGH与平面FMN将原多面体分成四棱锥E­AGHD与四棱锥F­MBCN与直三棱柱EGH­FMN.
由题意得GH＝MN＝AD＝3，GM＝EF＝2，
EP＝FQ＝1，AG＋MB＝AB－GM＝2，
所求的体积为V＝（S矩形AGHD＋S矩形MBCN）·EP＋S△EGH·EF＝×（2×3）×1＋×3×1×2＝5立方丈，故选B.
3． 【答案】B
【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则
S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，
∵，
∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，
整理，得|AF1|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，
∴椭圆的离心率e===．
故选：B．
4． 【答案】A
【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，
而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；
由古典概型公式可得⊥的概率是：；
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故选：A．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．
5． 【答案】A
【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；
回归直线方程经过样本中心，
把=3， =，代入A成立，代入D不成立．
故选：A．
6． 【答案】B
【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，
∴，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
7． 【答案】B
【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系，直线系在可行域内的两个临界点分别为和，当直线过点时，，当直线过点时，，即的取值范围为，.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.
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8． 【答案】C
【解析】
试题分析：因为函数，对任意的都成立，所以，解得或，又因为，所以，在和两数间插入共个数，使之与，构成等比数列，，，两式相乘，根据等比数列的性质得，，故选C.
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.
9． 【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；
对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
10．【答案】 C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），
∵2tan=2，lg=﹣1，
∴（2tan）⊗lg=（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（）﹣1=5，
∴lne⊗（）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．
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故选：C．
11．【答案】 A
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12．【答案】A
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．