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江苏省淮安市洪泽中学2015届高三上学期摸底数学试卷
一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．
2．（5分）已知复数a+bi=（i是虚数单位，a，b∈R），则a+b=．
3．（5分）某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是．
4．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为．
5．（5分）已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为．
6．（5分）一个算法的流程图如图所示，则输出的S值为．
7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，若，则=．（用向量a和b表示）
8．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）≥1的x的取值范围是．
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9．（5分）已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为．
10．（5分）已知圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴的右侧，且与直线x+y=0相切，则圆C标准方程为．
11．（5分）已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为．
12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[﹣1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为．
13．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=5，求a的值．
15．（14分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA⊥面ABCD，E是棱PB的中点．求证：
（1）EO∥平面PCD；
（2）平面PBO⊥平面PAC．
16．（14分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）
（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？
17．（16分）如图已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．
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（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．
18．（16分）已知数列{an}的首项a1=2，且对任意n∈N*，都有an+1=ban+c，其中b，c是常数．
（1）若数列{an}是等差数列，且c=2，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}是等比数列，且|b|＜2，当从数列{an}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{an}的前n项和Sn＜成立的n的取值集合．
19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；
（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求b的取值范围．
江苏省淮安市洪泽中学2015届高三上学期摸底数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．
考点： 并集及其运算．
专题： 阅读型．
分析： 根据题意，A∪B是由集合A、B的全部元素组成的集合，列举A、B的全部元素，用集合表示即可得答案．
解答： 解：根据题意，集合A={1，2}，B={﹣1，0，1}，
则A∪B={﹣1，0，1，2}；
故答案为{﹣1，0，1，2}．
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点评： 本题考查集合并集的计算，注意两个集合中重复的元素（如本题的元素1、2只）在并集中能出现一次．
2．（5分）已知复数a+bi=（i是虚数单位，a，b∈R），则a+b=3．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 利用复数代数形式的乘除运算，求出a+bi==1+2i，由此能求出a+b的值．
解答： 解：a+bi=
=
=
=1+2i，
∴a=1，b=2，
故a+b=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．（5分）某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是1．
考点： 极差、方差与标准差．
专题： 计算题．
分析： 根据这组数据的平均数是9，先做出数据中x的值，在把四个数据代入求方差的公式求这组数据的方差，计算后得到结果．
解答： 解：∵四次射击中分别打出了10，x，10，8环，
这组数据的平均数为9，
∴，
∴x=8，
∴这组数据的方差是（1+1+1+1）=1，
故答案为：1
点评： 本题考查平均数与方差，是以一组数据的平均数为条件求这组数据的方差，是一个基础题，本题若出现则是一个送分题目．
4．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为．
考点： 等可能事件的概率．
文档来源：
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专题： 计算题．
分析： 根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为5的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
解答： 解：根据题意，从5个数中一次随机取两个数，
其情况有1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5，共10种情况，
其中这两个数的和为5的有1、4，2、3，共2种；
则取出两个数的和为5的概率P==；
故答案为．
点评： 本题考查等可能事件的概率计算，关键是用列举法得到全部的情况数目和符合题干要求的情况数目．
5．（5分）已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为1．
考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系．
分析： 利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．
解答： 解：因为直线ax+y=a+1的斜率存在，
要使两条直线平行，必有
解得 a=±1，
当a=﹣1时，已知直线x﹣y=0与直线﹣x+y=0，两直线重合，
当a=1时，已知直线x+y=4与直线x+y=3，两直线平行，
则实数a的值为 1．
故答案为：1．
点评： 本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法
6．（5分）一个算法的流程图如图所示，则输出的S值为15．
考点： 循环结构．
专题： 图表型．
文档来源：
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分析： 据程序框图的流程，写出前8次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果．
解答： 解：通过第一次循环得到s=1，i=2
通过第二次循环得到s=1+2，i=3
通过第三次循环得到s=1+2+3，i=4
通过第四次循环得到s=1+2+3+4，i=5
通过第五次循环得到s=1+2+3+4+5，i=6
此时满足判断框中的条件，执行输出，S=15．
故答案为15．
点评： 解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
7．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，若，则=．（用向量a和b表示）
考点： 向量的线性运算性质及几何意义．
专题： 计算题．
分析： 向量表示错误 a，b，请给修改题干，谢谢
由题意可得四边形ABCD是梯形，且AB=2CD，由△AOB∽△COD 求得 AO=AC，=，再利用两个向量的加减法的几何意义，用 和表示．
解答： 解：由题意可得四边形ABCD是梯形，且AB=2CD．
由△AOB∽△COD 可得 ==，∴AO=AC，即=．
∴==（+）=（+）=，
故答案为 ．
点评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得 = 是解题的关键，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）≥1的x的取值范围是（﹣∞，2]．
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考点： 函数单调性的性质；其他不等式的解法．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 利用分段函数，根据f（x）≥1，建立不等式组，即可求得x的取值范围．
解答： 解：由题意，或
∴x≤1或1＜x≤2
∴x≤2
故答案为：（﹣∞，2]．
点评： 本题考查分段函数，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．（5分）已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 计算题．
分析： 根据正三角形的性质，可求出底面中心到三角形顶点的距离，再用勾股定理结合已知数据求出正三棱柱的高，最后用锥体体积公式求出它的体积．
解答： 解：∵正三棱锥的底面边长为2，
∴底面正三角形的高为×2=，可得底面中心到三角形顶点的距离为
∵正三棱锥侧棱长为，
∴正三棱锥的高h==2
所以三棱锥的体积V=××22×2=
故答案为：
点评： 本题给出正三棱锥的底面边长和侧棱长，求它的体积，着重考查了正棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．
10．（5分）已知圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴的右侧，且与直线x+y=0相切，则圆C标准方程为（x﹣2）2+y2=2．
考点： 直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
文档来源：
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专题： 计算题．
分析： 由圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴的右侧，设出圆心坐标为（a，0），且a大于0，根据r为表示出圆的标准方程，再由圆与直线x+y=0相切，可得出圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆的标准方程．
解答： 解：由题意设圆心坐标为（a，0）（a＞0），且半径r=，
∵圆与直线x+y=0相切，
∴圆心到直线的距离d=r，即=，
整理得：|a|=2，
解得：a=2或a=﹣2（舍去），
可得a=2，
则圆的方程为（x﹣2）2+y2=2．
故答案为：（x﹣2）2+y2=2
点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
11．（5分）已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为10．
考点： 等比数列的性质．
专题： 计算题．
分析： 由题意可得 a1an =3，再由所有项的积为a1•a1q•a1q2 …a1qn﹣1=243=35 ①，倒序可得 a1qn﹣1…a1q2•a1q•a1=35 ②，把①②对应项相乘可得
==3n=35•35 =310，由此解得 n的值．
解答： 解：设等比数列为{an}，公比为q，由题意可得 a1a2a3=3，且 an﹣2an﹣1an=9，两式相乘可得 a1an =3．
再由所有项的积为a1•a1q•a1q2 …a1qn﹣1=243=35 ①，
倒序可得 a1qn﹣1…a1q2•a1q•a1=35 ②，
把①②对应项相乘可得 ==3n=35•35 =310，解得 n=10，
故答案为 10．
点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[﹣1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为．
考点： 函数的单调性与导数的关系．
专题： 计算题．
文档来源：
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分析： 由函数在区间[﹣1，0]上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（﹣1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a2+b2可视为平面区域 内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值；
解答： 解：（1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[﹣1，0]上恒成立．
只需要 即可，也即 ，而a2+b2可视为平面区域 内的点到原点的距离的平方，
由点到直线的距离公式得d2=（）2=，
∴a2+b2的最小值为 ．
故答案为：．
点评： 考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解点到直线的距离公式，理解二元一次不等式组与平面区域的关系．
13．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．
考点： 函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．
专题： 计算题．
分析： 先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，
∴f（2）=f（﹣2）=1；
∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，
∴﹣2≤x+a≤2，
即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，
∴﹣1≤a≤1，
故答案为：[﹣1，1]．
点评： 本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．
二、解答题：本大题共6小题共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=5，求a的值．
考点： 余弦定理；正弦定理．
文档来源：
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专题： 计算题．
分析： （1）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左边，将cosA的值代入求出bc的值，由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（2）由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA，利用完全平方公式变形后，将b+c，bc及cosA的值代入，开方即可求出a的值．
解答： 解：（1）∵cosA=，且A为三角形的内角，
∴sinA==，…（2分）
又•=bccosA=2，∴bc=6，…（6分）
则S△ABC=bcsinA=×6×=2；…（8分）
（2）∵b+c=5，bc=6，cosA=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=25﹣12﹣4=9，…（12分）
则a=3．…（14分）
点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算，余弦定理，完全平方公式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
15．（14分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA⊥面ABCD，E是棱PB的中点．求证：
（1）EO∥平面PCD；
（2）平面PBO⊥平面PAC．
考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）根据菱形的性质，可得到O是BD的中点，在△PBD中利用中位线定理，得到EO∥PD，结合线面平行的判定定理，可证出EO∥平面PCD；
（2）根据PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，结合面面垂直的判定定理，可证出平面PBO⊥平面PAC．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB∩CD=O，
∴O是BD的中点，
又∵E是PB的中点，∴EO是△PBD的中位线，可得EO∥PD． …（2分）
∵EO⊈平面PCD，PD⊂平面PCD，