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湖南省2009届高三 十二校联考 第二次考试
数学试卷（理科）
总分：150分 时量：120分钟 2009年4月5日
联合命题
由
长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中
隆回一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的）.
1．集合的真子集的个数为 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．复数（）2（其中i为虚数单位）的虚部等于 （ ）
A．－i B．1 C．－1 D．0
3．设函数在区间上连续，则实数的值为 ( )
A．2 B．1 C．0 D．3
4. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( )
A. 135 B. 270 C. 540 D. 1215
5．下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；
④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；
其中正确命题的序号是 ( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
6．已知，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．0
7．已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数，，，使＋＋= ，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA （ ）
A．都是锐角 B．至多有两个钝角 C．恰有两个钝角 D．至少有两个钝角。
8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为 （ ）
A． B． C． D．
9．双曲线 －＝1的左右焦点分别为F1 ﹑F2，在双曲线上存在点P，满足︱PF1︱＝5︱PF2︱。则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ）
A． B． C． D．2
10．f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足 ，对任意的正数
a ﹑b ，若a ＜ b，则必有 （ ）
A．a f (a)≤b f (b) B．a f (a)≥b f (b) C．a f (b)≤b f (a) D．a f (b)≥b f (a)
二、填空题:（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上）.
11．已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y)满足：
0≤≤1,0≤≤1,则的最大值为＿＿＿＿＿．
12．已知函数y=f(x),x∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的的解集为
13．已知＝1，则＝＿＿＿＿＿．
14．若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿．
15．已知抛物线的方程为，直线与抛物线交于A,B两点，且以弦AB
为直径的圆与抛物线的准线相切，则弦AB的中点的轨迹方程为 ；当直线的倾斜角为时，圆的半径为 ．
三、解答题:（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
16．（本小题满分12分）
已知向量a＝(cos, sin), b＝(cos,－ sin), 且x∈[0, ].
(1) 求a·b及︱a＋b︱；
(2)若f (x)= a·b－2︱a＋b︱的最小值为－7, 求实数的值.
17．（本小题满分12分）
某公司科研部研发了甲﹑乙两种产品的新一代产品，在投产上市前，每种新一代产品都要经过第一和第二两项技术指标检测，两项技术指标的检测结果相互独立，每项技术指标的检测结果都均有A ，B两个等级，对每种新一代产品，当两项技术指标的检测结果均为A级时，才允许投产上市，否则不能投产上市。
(1)已知甲﹑乙两种新一代产品的每一项技术指标的检测结果为A级的概率如下表所示，分别求出甲﹑乙两种新一代产品能投产上市的概率P甲﹑P乙；
第一项技术指标
第二项技术指标
甲
乙
(2)若甲﹑乙两种新一代产品能投产上市，可分别给公司创造100万元﹑150万元的利润；否则将分别给公司造成10万元﹑20万元的损失，在1）的条件下，用﹑分别表示甲﹑乙两种新一代产品的研发给公司创造的利润，求﹑的分布列及E﹑E.
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C.
1）求证：D点为棱BB1的中点；
2）若二面角A －A1D － C的平面角为600，求的值。
A1
C1
B1
A
C
BA1
D
19．（本小题满分13分）
设正项数列｛｝的前项和为Sn，q为非零常数。已知对任意正整数n, m，当n ＞ m时，总成立。
1）求证数列｛｝是等比数列；
2）若正整数n, m, k成等差数列，求证： ＋≥。
20．（本小题满分13分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。
1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；
2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。
21．（本小题满分13分）
我们知道：函数y＝f (x)如果存在反函数y＝f -1 (x)，则y＝f (x)的图像与y＝f -1 (x)图像关于直线y＝x对称。若y＝f (x)的图像与y＝f -1 (x)的图像有公共点，其公共点却不一定都在直线y＝x上；例如函数f (x)＝。
（1）若函数y＝f (x)在其定义域上是增函数，且y＝f (x)的图像与其反函数y＝f -1 (x)的图像有公共点，证明这些公共点都在直线y＝x上；
（2）对问题：“函数f (x)＝a x (a＞1)与其反函数f -1 (x)＝logax的图像有多少个公共点？”有如下观点：
观点①：“当a＞1时两函数图像没有公共点，只有当0＜a＜1时两函数图像才有公共点”。
观点②：“利用（1）中的结论，可先讨论函数f (x)＝a x (a＞1)的图像与直线y＝x的公共点的个数，为此可构造函数F (x)＝a x－x(a＞1)，然后可利用F (x)的最小值进行讨论”。
请参考上述观点，讨论函数f (x)＝ax (a＞1)与其反函数f -1 (x)＝logax图像公共点的个数。
数学试卷（理科）参考解答
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
C
D
B
D
B
B
C
11. 4. 12. [－1,－ )∪(0, ).. 13. 。 14. 24.
15. （3分）、 （2分）。
：（1）∵ a = (cos, sin), b = (cos,－ sin)
∴ a·b ＝cos cos＋sin（－ sin）＝cos cos－sin sin
＝cos（＋）＝cos2x ………3分
又易知：︱a︱＝1,︱b︱＝1 ∴︱a＋b︱2 ＝ a 2＋b 2＋2 a·b
＝1＋1＋2 cos2x＝4cos2x ，且x∈[0, ],
∴︱a＋b︱＝2cosx. ………6分
（2) f (x)＝ a·b－2︱a＋b︱
＝cos2x－2(2cosx)
＝2cos2x－4cosx － 1
＝2(cosx－)2－22－1 ………8分
若＜0，当cosx＝0时，f (x)取得最小值－1，不合题意；
若＞1，当cosx＝1时，f (x)取得最小值1－4，由题意有1－4＝－7，得＝2；
若0≤≤1，当cosx＝时，f (x)取得最小值－22－1，由题意有－22－1＝－7，得＝±(舍去)。
综上所述：＝2。 ………12分
17．解： 1）由题意有： P甲 ＝ ×＝ ； ………3分
P乙 ＝ ×＝ 。 ………6分
2）随机变量﹑的分布列分别是：
100
－10
P
150
－20
P
………9分
E ＝ 100×＋（－10）× ＝ ；
E ＝ 150×＋（－20）× ＝ 82 。 ………12分
18．解： 1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF。
∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C
∴直线DE⊥面AA1C1C ………3分
又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C
由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，
又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，
又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝ AA1 ＝ BB1，
A1
C1
B1
A
C
BA1
D
H
E
F
G
所以D点为棱BB1的中点； ………6分
2）解法1：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，
过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，
由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； ………9分
设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝；
在直角三角形A1A G中，易知 AB ＝ BG。
在直角三角形DB G中，BH ＝ ＝ ，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB ＝ ＝ ，
据题意有： ＝ tan600 ＝ ，解得：，
所以 ＝ 。 ………12分
2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，
A1
C1
B1
A
C
BA1
D
y
O
x
Z
则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0)
所以， ………8分
设面DA1C的法向量为
则
可取
又可取平面AA1DB的法向量
cos〈〉 ………10分
据题意有：，解得： ＝ ………12分
说明：考生的其他不同解法，请参照给分。
19．解： 1）因为对任意正整数n, m，当n ＞ m时，总成立。
所以当≥2时：，即，且也适合，又＞0，
故当≥2时：（非零常数），即｛｝是等比数列。 ………5分
2）若，则。所以
≥。 ………7分
若，则，，。 ………8分
所以≥。 ………10分
又因为
≤。所以
≥≥。
综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 ＋≥总成立。
当且仅当时取“＝”。 ………13分
20．解： 1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为： ① ………2分
易知右焦点F的坐标为（），
据题意有AB所在的直线方程为： ② ………3分
由①，②有： ③
设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：
所以，即为所求。 ………5分
2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：
，所以