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数学（理科）
第I卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合 A = ^|-1<x<5},B = {x|-x2+5x + 6>0},则 AC\B=（ ）
{-1,0,1,3} B. {-1,0,1,2} C. {—1,0,1} D. {0,l,2,3,4}
已知j为虚数单位，复数z满足z*0z = （l-2z）2，则|z|的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2>/3 D. 5
设数列{%}是等差数列，S“为其前兀项和,若S5=2a59a3=4t则為=（ ）
A. 4 B. -22 C. 22 D. 80
函数 f（x） = xecosx（xe[-7V^]）的图象大致是（ ）
, A, B, C是球O表面上的点，SA丄平面ABC, AB丄BC, SA二AB = \,BC二迈,
则球O的表面积等于（ ）
A. 4龙 B. 3龙 C. 2龙 D. 71
= 2x + -^~与抛物线x2=2py（p>0）相交于A,B两点，则|AB|等于（ ）
A. 5p B. lip C. 10/? D. 12p
7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条 侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，己知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体 的三视图如图所示，则该几何体的表血积（ ）
3+3^3
&执行如下图所示的程序框图，输出s的值为（
)
A. 1
2018 2018
D.
2017 2019
（4,-3）在角©的终边上，函数/（x） = sin（oc + 0）（0>O）图象上与y轴最近
的两个对称中心间的距离为即
TT
则f 一的值为（ 18丿
7>/2
~w
D.
7V2 「 V2
C.
10 10
ax-y + 2>Q
>0,若关于x*的不等式组（x+y — 220，表示的可行域与圆（兀一2『+于=9
x-2<0
存在公共点，则z = x + 2y的最大值的取值范围为（ ）
A. [8,10]
B. (6,+8)
C. (6,8]
D・[&+8)
(x) = x2
1
XG
x
的图象上恰有两对关
于X轴对称的点，则实数加的取值范围是（ ）
「5 、
「 5 、
< 5 ・
A.
—In 2,2
1_4 )
B.
2-ln2,- + ln2
L 4 )
C.
- + ln 2,2-ln2 <4 J
(2-In2,2]
2 2
:令一右=1（。＞0"＞0）交于两点，且AB^点M的横
坐标为过Mil与直线厶垂直的直线厶过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）
B.
1+亦
D.
1+希
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分•第13题，第21题为必考题，每个试题考生都 必须作答.
13•如图是半径分别为1, 2, 3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入
图屮阴影部分的概率为
（0,0）是函数/（x） = sinx + 3cosx的一个对称中心，则
cos2& + sin&cos& =
In/：：）—：＞（）'若|/（兀）|’处恒成立，贝巾的取值范围
f(x) = x2 sin—，数列｛an｝中，an = /(n)-/(/7 + l)(/?G N"')，则数列｛an｝
2
的前100项之和5100 :•
，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcos（c~^] = a + c.
I 3丿
（1）求角〃的大小;
（2）若b =羽,求QC的取值范禺.
某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水暈划分为 三档：月用水量不超过4吨的部分按2元/吨收费，超过4吨但不超过8吨的部分按4元/ 吨收费，超过8吨的部分按8元/吨收费.
求居民月用水量费用y (单位：元)关于月用电量兀(单位：吨)的函数解析式；
为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年3月份100户居民每户的用水量，统 计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年3月份用水费用不超过 16元的占66%,求的值；
在满足条件(2)的条件下，若以这100户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用 水量的概率•且同组屮的数据用该组区间的屮点值代替•记为该市居民用户3月份的用水费 用，求y的分布列和数学期望.
如图所示，正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，
BEIICD,BE = 2CD = 4, BE 丄 BC, F 为棱 AE 的中点.
求证:DF//平面ABC.
求证：DF丄平面ABE；
若直线AD与平面BCDE所成角的正切值为』瓦，求二面角B-CF-D的余弦值.
已知椭圆C的两个焦点坐标分别是（-2,0）,（2,0）,并且经过戶（盯,1）.
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 过椭圆C的右焦点F作直线/,直线/与椭圆C相交于A、B两点，与圆O: F 二6
相交于ZX E两点，当的面积最大时，求弦DE的长.
已知函数/（兀）=（兀+ 1）K—丄似（处/?«是自然对数的底数）在（0,/（0））处的
2
切线与兀轴平行.
（1） 求函数/（兀）的单调递增区间；
（2） 设g（兀）=（“+ 2加一2）兀一丄兀$，若Vxg R ,不等式/（x） ＞ g（x）恒成立，求
77 m ——的最大值.
2
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
3 77
已知直线/过定点p（l,l）,且倾斜角为亍，以坐标原点为极点，兀轴的正半轴为极轴的坐
标系中，曲线C的极坐标方程为p-- = 2cos&.
P
（1） 求曲线C的直角坐标方程与直线/的参数方程；
（2） 若直线/与曲线C相交于不同的两点A、B,求的值.
选修4-5：不等式选讲
设函数 ） = |2x + 2| + |2x-4|.
（1） 求不等式/（兀）＞8的解集；
（2） 若存在xwR,使不等式/（x）＜|2m-3|成立，求实数加的取值范围.
试卷答案
一、 选择题
1-5: DDCBA 6-10: CABCD
二、 填空题
1 11
13. — 14.——
3 10
三、 解答题
11、 12： AB
15. [-2,0]
16.-10200
17. (1) T 2b cos C = a + c,
I 3丿
・••由正弦定理得：2sin Bcos C-— =sin A + sinC ,
I 3丿
fi R 、
2 sin B —cos Ch—— sinC
2 2
= sin(B + C) + sinC,
即：V3sinB- cos B = 1,
sin
7T
V AABC为锐角三角形,：.B一一g
6
(2) V b = >/3, B =—,・••由正弦定理有： 一-—=—-—=—-—=2 ,
3 sin A sin C sin B
由正弦定理有: —-—=一-—=—-—=2 ,
sin A sin C sin B
a = 2sin A,c = 2sin C,di = 4sin AsinC ,
严—J
= 4sin A
——cos/a+—sin A
I 3丿
2 2
k 7
/• d2? = 4sin Asin
=2\/3 sin A cos A + 2 sin2 A =馆 sin 2 A +1 - cos 2A
( 7l\
=2 sin 2A——=1
小 2兀 ▲
(7u\
0-
,C — Ag
0-
1 2丿
3
L 2丿
:.Ae
'兀5龙、
V AABC为锐角三角形,
I 6丿
(7t 兀、
/• (2,3].
18. (1)当05兀54时，y = 2x；
当4 v兀58 时，y = 2x4 + 4x(x-4) = 4x-8 ,
当x>8吋，y = 2x4+ 4x4+ 8x(^-8) = 8%-40.
2x, 0<x<4
所以y与尢Z间的函数解析式为：y = <4x一&4vxW8；
8x - 40, x > 8
(2)由(1)可知,当 y = 16 时，兀=6,则 P(x<6) = ,
结合频率分布直方图可知:
J 0」+ 2/?+ = 〔2/? + 2d+ =
/•^ = ^ = ；
(3)由题意可知：Y的可能取值为1, 3,, 5, 7, 9, 11.
则
p(y = l) = ,P(y = 3) = ,P(y = 5) = ,P(y = 7)= ,P(y = 9) = ,P(y = ll) =
所以P的分布列:
p
1
3
5
7
9
11
Y
0. 1
0. 15
0. 05
EY = 1x0」+ 3x0・2 + + + 9x0・15+ = •
19. (1)如图，取4B中点G,连接CG、FG,因为F为4E中点，所以FG//BE且
FG = ' CD , BE = 2CD,所以FG//CD且FG二CD,所以四边形CDFG为平行四边 2
形，所以DFHCG.
CGu 平面 ABC , DF(Z 平面 ABC, :. DF / / 平面 ABC.
(2)又因为\ABC为正三角形，所以CG丄AB,
又因为而 ABC 丄面 BCDE,面 ABCQ 而 BCDE = BC. BE 丄 BC,BE u 面 BCDE,
所以BE丄面ABC, \AB = B,所以CG丄面ABE,所以DF丄
面 ABE.
(3)
取BC中点O, •易证AO丄而BCDE,所以ZADO为直线AD与平面
BCDE所成的角，即论阿=半，设。C"可求得日.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O — qn,则O(0,0,0),B(0,-l,0),
C(0,l,0)0(2,1,0), E(4-l,0),A(0,0,V3),F 2,-=
所以BF
(1 护、 '
-,— ,BC = (0,2,0),DC = (-2,0,0),DF= 0,- 2 2
\ 7 \
设平面BCF的法向量为/7 = (n,,n2,n3),则
2n2 = 0
1 73 f 令得
2厲 + — % H = 0
1 2 - 2 m
“2 = 0, © = —4 ,所以〃=
(V3,o,-4),
-2mx = 0
设面DCF的法向量为〃2 = 0%加2昇®)，则“
3 羽 ，令加2 = 1,得宀=巧,
/72? H 加3 = 0 乂 2 2
所以加=(0,1,馆)，所以COS(n,"2)=
tvLn
-4^3 _ -2^51 甬卫—19
因为二面角B-CF-D为钝角,其余弦值为畔.
20. (1)
设椭圆的标准方程为
= l(Q〉b〉O)
依椭圆的定义可得：2a =
3-2 +1
=丁8 + 4 術+ J8-4 能
=2\/6
/• a — >/6 , T c = 2 , /• b2 = 2 ,
x2 v2
•••椭圆的标准方程为：一+丄=1・
6 2
(2)设直线/的方程为兀=幼+ 2,代入椭圆方程c化简得：(/+3)b+4幼_2 = 0, 4k 2
设A&,yj,8(七,力)，则>i + >?2 = 一圧不」力=一戸不‘
1 J16f+8(/+3) 2a/6a/FT7
OAB的面积S = *|OF|卜厂由=卜厂力| =-一詁一-=L ，
令t = ylk2+l(t>l),则S=g亟W仝g二能，当且仅当f二血，即k = ±l吋取等号. ' ) 广+2 2V2r
此吋，直线/的方程为x = ±y + 2,圆心0到/的距离为d二血，又圆半径为〃，故所求
弦长为 |DE| = 2V^ = 4.
21. (1) f(x) = (x^2)ex-x-a, rtl已知得/"(0) = 2 — ° = 0,得d = 2,贝ij 厂(兀)=(兀 + 2)("-1).
令厂(兀)>0,解得兀>0或兀V—2,故函数/(x)的单调递增区间为(-oo,-2 )和(0,+oo).
(2)不等式 f(x) > j?(x),可化为ex > 2mx-nf 记/z(x) = ex -hnx + n ,
//(x) = ex - 2m,
当m<0时，h\x}> 0恒成立，则力(兀)在R上递增，没有最小值，故不成立；
当加〉0吋，令//(%) = 0 ,解得x = ln 2m ,当 xe (-oo,ln2m)吋，/?,(x)<0；当
xg (In 2加,+oo)时,
//(x)>0,当x = In2m时,函数/z(兀)取得最小值h(In2m) = e,n2m-2mIn2w + n>0,
Yl 即 2m 一 2m In 2m > -n ,则 2m -m In 2m > m——
2
令 F (m) = 2m - m In 2m[m > 0), F\m) = 1 - In 2m ,令 (加) = 0,则 m = — 9 当
me 0,— 时，F(m) >0:当刃w
2
时，F(m) <0 ,故当m = ~时，F(加)取得
最大值F
e n n €
,所以-r,即r的最大值为丁
p2 —3 = 2/9 cos &x2 + y2 — 3 = 2x ,
3
22. (1) •: p — 2 cos & ,
P
•••曲线C的直角坐标方稈为:
(x-i)2 + / 二4,
3 77
・・•直线/过点p(l,l),且倾斜角为亍,
“1+心乏
•••直线/的参数方程为：
° (/为参数),
.• 3兀
y = l + /sm ——
4
“a
2 (/为参数).
I V2
V = 1 + ——t
・ 2
(2)设A、B两点对应的参数分别为小
将直线/与曲线C的方程得：尸+J习一3 = 0,
・・・ 口 = 3 , A \PA\] PB\ = h 电 | = |口21 = 3.
23. (1)①
x<-l
-4x + 2>8
3
x<——；