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湖南省衡阳县第三中学2017届高三模拟考试（一）数学（理）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1．已知为虚数单位，是复数的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于 （ ）
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
2．已知集合，，则下列结论成立的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．已知定义在上的函数周期为（常数），则命题“，”的否定是（ ）
（A）， （B），
（C）， （D），
4． 如图是某几何体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．下面程序框图中，若输入互不相等的三个正实数（），要求判断的形状，则空白的判断框应填入（ ）
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开始
结束
输出锐角三角形
否
否
输入
是
是
否
是
输出不为锐角三角形
? （B）?
（C）? （D）?
6．已知双曲线（）的一个焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线交于四点，若四边形恰为正方形，且周长为，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B）3 （C） （D）
7．已知不等式组所对应的平面区域面积为，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8． “石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（ ）
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（A） （B） （C） （D）
9．数列满足，其前项和为，若，则使得最小的值为（ ）
（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
10．等边三角形中，若，则当取得最小值时，（ ）
（A） （B） （C） （D）1
11．现要给一长、宽、高分别为3、2、1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案种数有（ ）
（A）48种 （B）72种 （C）96种 （D）108种
12．已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在中，内角的对边分别为，向量，，且，则为 三角形．
14． 分别计算，，，，，…，并根据计算的结果，猜想的末位数字为 ．
15．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与平面所成角的余弦值为 ．
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16．已知函数（）的一个零点是，其图象上一条对称轴方程为，则当取最小值时，下列说法正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）
①当时，函数单调递增；
②当时，函数单调递减；
③函数的图象关于点对称；
④函数的图象关于直线对称．
三、解答题（本大题共6小题，、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知等比数列的第2项、第5项分别为二项式展开式的第5项、第2项的系数．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若存在实数，使恒成立，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
下图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．
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日期
02-01
02-03
02-05
02-07
02-09
02-11
02-13
02-15
02-17
02-19
02-21
02-23
02-25
02-27
250
300
200
150
100
50
空气质量指数（AQI）
由中台提供的空气质量指数标准如下：
空气质量指数
300以上
空气质量等级
级优
级良
级轻度污染
级中度污染
级重度污染
级严重污染
（Ⅰ）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；
（Ⅱ）在该月份中任取两天，求空气质量至少有一天为优或良的概率；
（Ⅲ）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天的空气质量指数近似满足，则治理后的空气质量指数均值大约下降了多少？
19．（本小题满分12分）
如图1，在高为2的梯形中，，，，过、分别作，，垂足分别为、．已知，将梯形沿、同侧折起，得空间几何体，如图2．
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（Ⅰ）若，证明：为直角三角形；
（Ⅱ）若，，求平面与平面所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，讨论函数的零点的个数；
（Ⅱ）令，，当时，证明：对任意的，存在，使得．
请考生在第22、：，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）证明：不论为何值，直线与曲线恒有两个公共点；
（Ⅱ）以为参数，求直线与曲线相交所得弦的中点轨迹的参数方程，并判断该轨迹的曲线类型．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
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（Ⅰ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，直线与函数的图象围成三角形，求的最大值及此时围成的三角形的面积．
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数学（理）
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