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一、数列通项公式的探索与应用
要求：通过分析数列的递推公式，探究通项公式的求解方法，并能运用所求得的通项公式解决实际问题。
1. 已知数列 {an} 的递推公式为：an = 2an-1 + 1，且 a1 = 1，求该数列的通项公式。
2. 数列 {bn} 的前n项和为 Sn，已知 bn = 3n - 2，求 Sn 的表达式。
3. 某同学参加了数学竞赛，获得的名次构成一个等差数列，若他第一次获得第10名，第二次获得第15名，求他第三次获得的名次。
4. 在一个等比数列中，若前三项的和为 9，公比为 2，求该数列的前5项和。
二、数列极限的求解与性质探究
要求：掌握数列极限的定义和求解方法，并探究数列极限的性质。
1. 已知数列 {an} 的通项公式为：an = (2n + 3) / (n^2 - 1)，求极限 lim(n→∞) an。
2. 已知数列 {bn} 的通项公式为：bn = (n^2 - 1) / (n + 1)，求极限 lim(n→∞) bn。
3. 设数列 {cn} 的通项公式为：cn = (n + 1) / (n - 1)，证明数列 {cn} 的极限存在，并求出其极限值。
4. 若数列 {dn} 的通项公式为：dn = n / (n^2 + 1)，判断数列 {dn} 的极限是否存在，若存在，求出其极限值。
三、数列与函数的综合应用
要求：结合数列和函数的知识，解决实际问题。
1. 某公司计划投资建设一个项目，若每年投资额为x万元，则投资回报率y可以表示为：y = ^x - 1。求投资回报率y与投资额x之间的函数关系式，并分析当投资额x增加时，投资回报率y的变化趋势。
2. 设函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，若数列 {an} 的通项公式为：an = f(n)，求该数列的前10项和。
3. 已知数列 {bn} 的通项公式为：bn = n^3 - 4n^2 + 3n，若函数 g(x) = x^3 - 4x^2 + 3x，求数列 {bn} 的前5项和与函数 g(x) 在区间 [1, 5] 上的定积分值之间的关系。
4. 设函数 h(x) = 2x - 1，若数列 {cn} 的通项公式为：cn = h(n)，求该数列的前5项和，并分析当n增加时，数列 {cn} 的和的变化趋势。
四、数列的敛散性与级数求和
要求：判断数列的敛散性，并求出数列的级数和。
1. 判断数列 {an} 的敛散性，其中 an = (1/2)^n，并求出级数 ∑(n=1 to ∞) an 的和。
2. 已知数列 {bn} 的通项公式为：bn = n / (n+1)^2，判断数列 {bn} 的敛散性，并求出级数 ∑(n=1 to ∞) bn 的和。
3. 设数列 {cn} 的通项公式为：cn = (-1)^n / n，判断数列 {cn} 的敛散性，并求出级数 ∑(n=1 to ∞) cn 的和。
4. 若数列 {dn} 的通项公式为：dn = 1 / (n^2 - 1)，判断数列 {dn} 的敛散性，并求出级数 ∑(n=1 to ∞) dn 的和。
五、数列与不等式的综合
要求：运用数列的知识解决不等式问题。
1. 已知数列 {en} 的通项公式为：en = n^2 + n + 1，求证：对于任意的 n ∈ N*，都有 en > n^2。
2. 设数列 {fn} 的通项公式为：fn = n / (n+1)，若 fn > 1/2，求 n 的取值范围。
3. 已知数列 {gn} 的通项公式为：gn = (1/2)^n，若 gn < 1/3，求 n 的取值范围。
4. 设数列 {hn} 的通项公式为：hn = n / (n+2)，若 hn > 1/3，求 n 的取值范围。
六、数列与实际问题的结合
要求：将数列知识应用于实际问题中。
1. 某商品原价为100元，每经过一个月，价格下降2%，求前n个月后的商品价格。
2. 设一个等比数列的前三项分别为2a, 4a, 8a，若该数列的前n项和为S，求S的表达式。
3. 某城市每年人口增长率为5%，若初始人口为100万，求n年后的人口数量。
4. 一家工厂生产的产品数量每年增加10%，若初始生产量为1000件，求n年后生产的产品数量。
本次试卷答案如下：
一、数列通项公式的探索与应用
1. 解析：这是一个一阶线性递推数列问题。首先，我们尝试将递推公式转化为通项公式。由于 a1 = 1，我们可以逐步计算前几项来观察规律：
a1 = 1
a2 = 2a1 + 1 = 2*1 + 1 = 3
a3 = 2a2 + 1 = 2*3 + 1 = 7
a4 = 2a3 + 1 = 2*7 + 1 = 15
观察到每一项都是前一项的2倍再加1，因此通项公式为 an = 2^n - 1。
2. 解析：这是一个等差数列的前n项和问题。我们知道等差数列的前n项和公式为 Sn = n(a1 + an) / 2。由于 bn = 3n - 2，我们可以推导出 a1 和 an：
a1 = b1 = 3*1 - 2 = 1
an = bn = 3n - 2
代入公式得 Sn = n(1 + (3n - 2)) / 2 = n(3n - 1) / 2。
3. 解析：这是一个等差数列的名次问题。等差数列的通项公式为 an = a1 + (n - 1)d，其中d是公差。由于第一次获得第10名，第二次获得第15名，我们可以得到两个方程：
a1 + 9d = 10
a1 + 14d = 15
解这个方程组，得到 a1 = 1 和 d = 1/5。第三次获得的名次为 a1 + 19d = 1 + 19/5 = ，由于名次必须是整数，所以第三次获得的名次为5。
4. 解析：这是一个等比数列的前n项和问题。等比数列的前n项和公式为 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r是公比。已知前三项的和为9，公比为2，我们可以推导出 a1：
a1 + a1r + a1r^2 = 9
a1(1 + 2 + 4) = 9
a1 = 9 / 7
代入公式得前5项和为 S5 = 9/7 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 45。
二、数列极限的求解与性质探究
1. 解析：这是一个数列极限的求解问题。由于分母的平方项的增长速度远大于分子的线性项，我们可以推断出当n趋于无穷大时，an趋于0。因此，lim(n→∞) an = 0。
2. 解析：这是一个数列极限的求解问题。由于分母的线性项的增长速度小于分子的平方项，我们可以推断出当n趋于无穷大时，bn趋于0。因此，lim(n→∞) bn = 0。
3. 解析：这是一个数列极限的存在性证明和求解问题。由于分母的线性项的增长速度小于分子的线性项，我们可以推断出当n趋于无穷大时，cn趋于无穷大。因此，数列 {cn} 的极限不存在。
4. 解析：这是一个数列极限的求解问题。由于分母的平方项的增长速度大于分子的线性项，我们可以推断出当n趋于无穷大时，dn趋于0。因此，lim(n→∞) dn = 0。
三、数列与函数的综合应用
1. 解析：这是一个函数与数列的综合应用问题。由于y = ^x - 1，我们可以得到函数关系式 y = x * 。当投资额x增加时，，投资回报率y也会增加。
2. 解析：这是一个数列的前n项和问题。由于an = f(n) = n^2 + 2n + 1，我们可以直接计算前10项的和：
S10 = 1^2 + 2^2 + ... + 10^2 + 2*1 + 2*2 + ... + 2*10 + 1*10
= 385 + 110 + 10
= 505。
3. 解析：这是一个数列的前n项和与函数定积分的关系问题。由于bn = n^3 - 4n^2 + 3n，我们可以计算前5项的和：
S5 = 1^3 - 4*1^2 + 3*1 + 2^3 - 4*2^2 + 3*2 + 3^3 - 4*3^2 + 3*3 + 4^3 - 4*4^2 + 3*4
= 1 - 4 + 3 + 8 - 16 + 6 + 27 - 36 + 9 + 64 - 64 + 12
= 7。
函数 g(x) = x^3 - 4x^2 + 3x 在区间 [1, 5] 上的定积分值为：
∫(1 to 5) (x^3 - 4x^2 + 3x) dx = [1/4x^4 - 4/3x^3 + 3/2x^2] from 1 to 5
= (1/4*5^4 - 4/3*5^3 + 3/2*5^2) - (1/4*1^4 - 4/3*1^3 + 3/2*1^2)
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2
= 625/4 - 500/3 + 75/2 - 1/4 + 4/3 - 3/2