文档介绍：第六章弯曲应力
授课学时:6学时
主要内容:纯弯曲的正应力;横力弯曲切应力。
$ 梁的弯曲

横截面上既有Q又有M的情况。如 AC、DB段。

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时,该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。

(1)现象:横向线a-b变形后仍为直线,但有转动;纵向线变变为曲线,且上面压缩下面拉伸;横向线与纵向线变形后仍垂直。
(2)中性层:梁内有一层纤维既不伸长也不缩短,因而纤维不受拉应力和压应力,此层纤维称中性层。
(3)中性轴:中性层与横截面的交线。
横截面对称轴
中性轴
中性层
纵向对称面
$

从梁中截取出长为的一个微段,横截面选用如图所示的坐标系。图中,轴为横截面的对称轴,轴为中性轴。从图中可以看到,横截面间相对转过的角度为,中
y
z
性层曲率半径为,距中性层为处的任一纵线(纵向纤维)为圆弧曲线。因此,纵线的伸长为
而其线应变为

纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。

梁的纵向纤维间无挤压,只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时,可由虎克定律得到横截面上坐标为处各点的正应力为

该式表明,横截面上各点的正应力与点的坐标y成正比。中性轴上各点的正应力均为零,中性轴上部横截面的各点均为压应力,而下部各点则均为拉应力。

横截面上坐标为的点的正应力为,截面上各点的微内力组成与横截面垂直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量,即平行轴的轴力,对轴的力偶矩和对轴的力偶矩,分别为
,,
考虑左侧平衡,,,得
,
横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩
式中积分
是横截面对中性轴的惯性距,上式可写成为

式中,越大,则曲率越小。因此,称为梁的抗弯刚度。将该式代入,即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式

即以梁的中性层为界,梁的凸出一侧受拉压力,凹入的一侧受压。
则截面上的最大正应力为

$

横力弯曲时的细长梁,即截面高度远小于跨度的梁,横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式,能够满足精度的要求。
横力弯曲时,弯矩随截面位置变化。一般情况下,在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式
引入符号,则截面上最大弯曲正应力可以表达为,强度条件为
称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为:
高为,宽为的矩形截面:
直径为的圆截面:

受均布载荷作用的简支梁如图所示,试求:
(1)1——1截面上1、2两点的正应力;
(2)此截面上的最大正应力;
(3)全梁的最大正应力;
解:画M图求截面弯矩
求应力
$ 弯曲切应力

1)矩形截面中的弯曲切应力假设
大小:矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。
方向:高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。
2)研究方法:分离体平衡。
在梁上取微段dx,在微段上再取一块如图,列平衡方程:
(1)
(2)(3)(3)带入