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考试时间：______分钟 总分：______分 姓名：______
一、选择题
要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设函数 \( f(x) = \ln(1 + x) \)，则 \( f'(-1) \) 的值为：
A. -1
B. 1
C. 0
D. 无定义
2. 若函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \) 在 \( x = 2 \) 处连续，则 \( a \) 的值为：
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
3. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值为：
A. 1
B. 0
C. 无穷大
D. 不存在
4. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的一个极值点为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
5. 设 \( a > 0 \)，则 \( \int_0^a x^2 \sin x \, dx \) 的值为：
A. \( -\frac{a^3}{3} \)
B. \( \frac{a^3}{3} \)
C. \( -\frac{a^3}{2} \)
D. \( \frac{a^3}{2} \)
6. 设 \( y = e^x \)，则 \( \frac{dy}{dx} \) 的值为：
A. \( e^x \)
B. \( e^{-x} \)
C. \( -e^x \)
D. \( -e^{-x} \)
7. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数值为：
A. 2
B. 0
C. -2
D. 无定义
8. 设 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \) 的值为：
A. \( \frac{\pi}{2} \)
B. \( \frac{\pi}{4} \)
C. \( \frac{\pi}{6} \)
D. \( \frac{\pi}{3} \)
9. 函数 \( y = e^{ax} \) 的一个极值点为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 无极值点
10. 设 \( \int_0^1 (x^2 - 1) \, dx \) 的值为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. \( \frac{1}{2} \)
二、填空题
要求：直接写出答案。
1. 设 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(1) = \) _______。
2. 设 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 的值为 _______。
3. 函数 \( y = e^x \) 的一个导数值为 _______。
4. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( x \) 的值为 _______。
5. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的一个零点为 _______。
6. 设 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \) 的值为 _______。
7. 设 \( f(x) = 2^x \)，则 \( f'(0) = \) _______。
8. 函数 \( y = \ln x \) 的一个极值点为 _______。
9. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 \)，则 \( x \) 的值为 _______。
10. 设 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx \) 的值为 _______。
四、计算题
要求：请将计算结果化简。
1. 计算定积分 \( \int_1^2 (x^3 - 2x^2 + 3x) \, dx \)。
2. 求函数 \( f(x) = x^2 \ln x \) 在 \( x = e \) 处的切线方程。
3. 求极限 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4} - x}{\sqrt{x^2 + 4} + x} \)。
4. 已知函数 \( f(x) = e^{2x} - e^{-2x} \)，求 \( f'(x) \)。
5. 求函数 \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \) 的单调区间。
六、应用题
要求：根据题目要求，写出解题步骤，并给出答案。
1. 设某商品的原价为 \( P \)，根据市场调查，其需求函数为 \( Q = 20 - \)。求该商品的最高售价和对应的最大利润。
2. 已知某工厂的生产函数为 \( F(x, y) = 4xy - 3x^2 - 2y^2 \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 分别表示生产要素的投入量。求在固定要素投入 \( x = 4 \) 的情况下，使产量最大的 \( y \) 值。
3. 设某物体做匀加速直线运动，其加速度 \( a \) 为常数，初速度 \( v_0 \) 为 2 m/s，求物体在第 5 秒末的速度 \( v \)。
4. 某城市的人口增长模型为 \( P(t) = 1000 \cdot e^{} \)，其中 \( P(t) \) 表示 \( t \) 年后的人口数量。求 10 年后该城市的人口数量。
5. 设某商品的需求函数为 \( Q = 10 - \)，其中 \( Q \) 为需求量，\( P \) 为价格。若商品的供给函数为 \( Q = 5P \)，求该商品的市场均衡价格和均衡数量。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1. B. 1
解析：根据导数的定义，\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)，代入 \( f(x) = \ln(1 + x) \) 和 \( x = -1 \)，得到 \( f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 - h) - \ln(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 - h)}{h} \)。由洛必达法则，分子分母同时求导，得到 \( f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{1}{1 - h}}{1} = 1 \)。
2. A. 2
解析：函数在 \( x = 2 \) 处连续，则 \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \)。代入 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)，得到 \( \lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{2^2 - 4} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} \)。因此，\( f(2) = -\frac{1}{4} \)。
3. A. 1
解析：根据极限的定义，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x} = 1 \cdot 1 = 1 \)。
4. A. 0
解析：函数 \( y = x^3 - 3x \) 的导数为 \( y' = 3x^2 - 3 \)。令 \( y' = 0 \)，解得 \( x = \pm 1 \)。检查 \( x = 0 \) 时，\( y' \) 不存在，故 \( x = 0 \) 是一个极值点。
5. B. \( \frac{a^3}{3} \)
解析：根据积分的基本定理，\( \int_0^a x^2 \sin x \, dx = -\frac{a^3}{3} \sin a + \frac{a^3}{3} \cos a \)。
6. A. \( e^x \)
解析：根据导数的定义，\( \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x \)。
7. A. 2
解析：根据导数的定义，\( f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 2 \)。
8. B. \( \frac{\pi}{4} \)
解析：根据积分的基本定理，\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \arctan(\frac{\pi}{2}) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \)。
9. A. 0
解析：函数 \( y = e^{ax} \) 的导数为 \( y' = ae^{ax} \)。令 \( y' = 0 \)，解得 \( a = 0 \)。
10. D. \( \frac{1}{2} \)
解析：根据积分的基本定理，\( \int_0^1 (x^2 - 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x \bigg|_0^1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} \)。
二、填空题
1. \( f'(1) = 2 \)
解析：根据导数的定义，\( f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(2 + h) - \ln(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{h}{2})}{h} \)。由洛必达法则，分子分母同时求导，得到 \( f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \frac{h}{2}}}{1} = \frac{1}{1 + 0} = 1 \)。
2. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 \)
解析：根据极限的性质，\( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \)。
3. \( \frac{dy}{dx} = e^x \)
解析：根据导数的定义，\( \frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x \)。
4. \( x = 0 \)
解析：根据极限的定义，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x} = 1 \cdot 1 = 1 \)。
5. \( x = 0 \)
解析：函数 \( y = x^3 - 3x \) 的导数为 \( y' = 3x^2 - 3 \)。令 \( y' = 0 \)，解得 \( x = \pm 1 \)。检查 \( x = 0 \) 时，\( y' \) 不存在，故 \( x = 0 \) 是一个极值点。
6. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 1 \)
解析：根据积分的基本定理，\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \)。
7. \( f'(0) = 1 \)
解析：根据导数的定义，\( f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{0+h} - e^0}{h} = e^0 \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 \cdot 1 = 1 \)。
8. \( x = 1 \)
解析：函数 \( y = \ln x \) 的导数为 \( y' = \frac{1}{x} \)。令 \( y' = 0 \)，解得 \( x = 1 \)。
9. \( x = 1 \)
解析：根据极限的定义，\( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 0} (x + 1) = 1 \)。
10. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1 \)
解析：根据积分的基本定理，\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \)。
四、计算题
1. \( \int_1^2 (x^3 - 2x^2 + 3x) \, dx = \frac{19}{3} \)
解析：根据积分的基本定理，\( \int_1^2 (x^3 - 2x^2 + 3x) \, dx = \left( \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \bigg|_1^2 = \left( \frac{16}{4} - \frac{16}{3} + \frac{12}{2} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \right) = \frac{19}{3} \)。
2. 切线方程为 \( y = 2e^2(x - 1) + 1 \)
解析：函数 \( f(x) = x^2 \ln x \) 的导数为 \( f'(x) = 2x \ln x + x \)。在 \( x = e \) 处，\( f'(e) = 2e \ln e + e = 3e \)。切线斜率为 3e，切点为 \( (e, e^2) \)。切线方程为 \( y - e^2 = 3e(x - e) \)，化简得 \( y = 2e^2(x - 1) + 1 \)。
3. \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4} - x}{\sqrt{x^2 + 4} + x} = \frac{1}{2} \)
解析：根据极限的性质，\( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 4} - x}{\sqrt{x^2 + 4} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}}{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}} \)。由于 \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 在 \( x \to \infty \) 时趋近于 0，因此 \( \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}}{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{2} \)。
4. \( f'(x) = 2x \ln x + x \)
解析：函数 \( f(x) = e^{2x} - e^{-2x} \) 的导数为 \( f'(x) = 2e^{2x} + 2e^{-2x} \)。化简得 \( f'(x) = 2x \ln x + x \)。
5. 单调递增区间为 \( (-\infty, -1) \) 和 \( (1, +\infty) \)，单调递减区间为 \( (-1, 1) \)
解析：函数 \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \) 的导数为 \( y' = \frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} \)。令 \( y' = 0 \)，解得 \( x^2 + 1 = 0 \)，无实数解。因此，函数没有极值点。由于 \( y' \) 在 \( x^2 - 1 \) 的定义域内始终大于 0，所以函数在 \( (-\infty, -1) \) 和 \( (1, +\infty) \) 上单调递增，在 \( (-1, 1) \) 上单调递减。
五、应用题
1. 最高售价为 20 元，对应的最大利润为 100 元。
解析：需求函数 \( Q = 20 - \) 可得 \( P = 40 - 2Q \)。利润函数 \( L(Q) = PQ - C \)，其中 \( C \) 为固定成本。代入 \( P \) 和 \( Q \) 的表达式，得到 \( L(Q) = (40 - 2Q)Q - C \)。利润最大时，\( L'(Q) = 40 - 4Q - C = 0 \)，解得 \( Q = 10 \)。代入 \( P \) 的表达式，得到 \( P = 20 \)。最大利润为 \( L(10) = (40 - 2 \cdot 10) \cdot 10 - C = 100 - C \)。
2. \( y \) 的最大值为 8。
解析：生产函数 \( F(x, y) = 4xy - 3x^2 - 2y^2 \) 可得 \( y \) 的最大值时，\( \frac{\partial F}{\partial y} = 4x - 4y = 0 \)，解得 \( y = x \)。代入 \( F \) 的表达式，得到 \( F(x, x) = 2x^2 - 3x^2 - 2x^2 = -3x^2 \)。因此，\( y \) 的最大值为 8。
3. 物体在第 5 秒末的速度 \( v = 10 \) m/s。
解析：根据匀加速直线运动的公式 \( v = v_0 + at \)，代入 \( v_0 = 2 \) m/s，\( a = 1 \) m/s\(^2\)，\( t = 5 \) s，得到 \( v = 2 + 1 \cdot 5 = 10 \) m/s。
4. 10 年后该城市的人口数量为 \( P(10) = 1640 \)。
解析：根据人口增长模型 \( P(t) = 1000 \cdot e^{} \)，代入 \( t = 10 \)，得到 \( P(10) = 1000 \cdot e^{ \cdot 10} = 1640 \)。
5. 市场均衡价格为 5 元，均衡数量为 5 单位。
解析：需求函数 \( Q = 10 - \) 和供给函数 \( Q = 5P \) 相等时，市场达到均衡。解方程 \( 10 - = 5P \)，得到 \( P = 5 \)。代入需求函数或供给函数，得到均衡数量 \( Q = 5P = 25 \)。