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(完整word版)双曲线的第二定义(含解析)
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课题：双曲线的第二定义
【学习目标】
1、掌握双曲线的第二定义；
2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题;
一、双曲线中的基本元素
（1）。基本量： a、b、c、e
几何意义： a—实半轴、b—虚半轴、c—半焦距，e-离心率；
相互关系：
（2).基本点：顶点、焦点、中心
（3）.基本线: 对称轴
二．双曲线的第二定义的推导
例1 点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
解：设是点到直线的距离．根据题意,所求轨迹就是集合，
由此得．化简，得．
设，就可化为,这是双曲线的标准方程，所以点的轨迹是实轴长、虚轴长分别为的双曲线(如图）．
由例1可知，当点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率．
对于双曲线，相应于焦点的准线方程是，根据双曲线的对称性,相应于焦点的准线方程是，所以双曲线有两条准线．
例2 一动点到定直线的距离是它到定点的距离的，求这个动点的轨迹方程．
解：由题设知离心率，
又定点与定直线是双曲线相应的右焦点与右准线，
所以，,解得．
所以双曲线中心为．
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又，故双曲线方程为．
评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线,同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．
三．第二定义的应用
1、已知双曲线的焦点是，渐近线方程是，则它的两条准线间的距离是___________；
2、若双曲线上点p到右焦点的距离为8，则点p到右准线的距离为___________；
3、设双曲线上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________;
4、已知双曲线上点p到右焦点的距离为14,则其到左准线的距离是__________;
5．双曲线16x2―9y2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C）
(A）4， 3， （B）8, 6, （C）8， 6, （D）4， 3,
6．顶点在x轴上,两顶点间的距离为8， e=的双曲线的标准方程为（A）
（A) （B） (C） （D）
7．双曲线的两条准线间的距离等于(A）
(A） （B） （C） （D)
8．若双曲线上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是（D）
（A）10 (B） （C）2 (D）
9．经过点M(3, ―1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D）
（A）y2―x2=8 （B）x2―y2=±8 （C）x2―y2=4 (D）x2―y2=8
10．以y=±x为渐近线的双曲线的方程是(D)
（A）3y2―2x2=6 （B）9y2―8x2=1 （C）3y2―2x2=1 （D）9y2―4x2=36
11．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （）
12．从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 。（b）
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13．与有公共焦点，且离心率e=的双曲线方程是 (）
14．以5x2+8y2=40的焦点为顶点,且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 。 （)
15．已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：）
四、课后作业
1．下列各对双曲线中,既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B)
（A）―y2=1与y2―=1 (B）―y2=1与
（C）y2―=1与x2― (D)―y2=1与
2．若共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则必有（D）
（A）e1= e2 (B）e1 e2=1 （C）=1 (D）=1
3．若双曲线经过点(6, ），且渐近线方程是y=±x，则这条双曲线的方程是(C）
(A） （B） （C） （D）
4．双曲线的渐近线为y=±x，则双曲线的离心率为（C)
(A） （B）2 （C）或 （D）或
5．如果双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离等于2,则P到左准线的距离为（C）
（A） （B） （C）8 （D）10
6．已知双曲线的一条准线是y=1，则实数k的值是（B)
（A） (B）― （C）1 （D）―1
7．双曲线的离心率e∈（1， 2),则k的取值范围是 。
8．若双曲线上的点M到左准线的距离为，则M到右焦点的距离是 。(）
9．双曲线的离心率e=2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .()
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10．在双曲线的一支上有不同的三点A（x1， y1)， B(, 6)， C(x3， y3)与焦点F间的距离成等差数列，则y1+y3等于 .（12）