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(完整word)专题训练(四) 线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法
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专题训练（四) 线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法
► 类型之一 线段垂直平分线的辅助线作法
1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＋BC＝BE,则∠B的度数是( ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
图4－ZT－1
2．如图4－ZT－2,AB＋AC＝7,D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________．
图4－ZT－2
3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O,连接OB，OC，若∠BAC等于84°,求∠OBC的度数．
图4－ZT－3
4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中,AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D,CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．
图4－ZT－4
► 类型之二 角平分线的辅助线作法
5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC＝8 cm,则点D到AB的距离是
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（ )
A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
图4－ZT－5
6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于( ）
A．10 B．7 C．5 D．4
图4－ZT－6
► 类型之三 线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法
7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中,∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于点E,F，试说明：BE＝EF＝FC（提示：三个内角相等的三角形是等边三角形)．
图4－ZT－7
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详解详析
1．[解析］ C 如图,连接AC。因为MN垂直平分AE，所以AC＝CE，所以∠E＝∠EAC。因为AB＋BC＝BE,BC＋CE＝BE，所以AB＝CE＝AC，所以∠B＝∠ACB＝2∠E。因为∠B＋∠E＋105°＝180°，所以∠B＋∠B＋105°＝180°，解得∠B＝50°。故选C。
2．［答案］ 7
[解析] 因为点D在BC的垂直平分线上,所以BD＝CD，所以△ACD的周长＝AD＋CD＋AC＝AD＋BD＋AC＝AB＋AC＝7。
3．解：如图，连接OA。
因为∠BAC＝84°，
所以∠ABC＋∠ACB＝96°。
因为l1,l2分别是AB，AC的垂直平分线，
所以OA＝OB，OA＝OC,
所以OB＝OC，∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
所以∠OBA＋∠OCA＝∠BAC＝84°，
所以∠OBC＋∠OCB＝12°,
所以∠OBC＝6°。
4．解：连接BE，因为△ABC是等腰三角形,所以∠ABC＝∠C＝①.
因为DE是线段AB的垂直平分线，所以AE＝BE，
所以∠A＝∠ABE.
因为CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，可知△BCE是等腰三角形，
所以BF是∠EBC的平分线，所以(∠ABC－∠A）＋∠C＝90°，
即(∠C－∠A）＋∠C＝90°②,把①代入②解得∠C＝72°，
所以∠A＝36°。
5．［解析］ B 如图,过点D作DE⊥∠BAC的平分线，∠C＝90°,所以DE＝CD＝8 cm，即点D到AB的距离是8 。
6．［解析] C 如图，作EF⊥BC于点F，因为BE平分∠ABC，DE⊥AB，EF⊥BC，所以EF＝DE＝2，所以S△BCE＝BC·EF＝×5×2＝.
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7．解：如图，连接OE，OF。在等边三角形ABC中,
因为∠ABC，∠ACB的平分线交于点O,OB和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
所以∠OBC＝∠OCB＝30°,OE＝BE，OF＝FC，
所以∠BOE＝∠COF＝30°，
所以∠BEO＝∠CFO＝120°，
所以∠OEF＝∠OFE＝60°，
所以△OEF是等边三角形,
所以OE＝OF＝EF，
所以BE＝EF＝FC。