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第一章 数和数的运算
自然数和 0 都是整数。
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3，， 叫做自然数.
一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数.
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿 ,， 都是计数单位.
每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计数法。
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
整数 a 除以整数 b（b≠0)，除得的商是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a.
如果数 a 能被数 b（b≠0）整除, a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的因数（或 a 的因数）.倍数和因数是相互依存的。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除.
个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除.
一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除。
一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。
能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。
能被 2 整除的数叫做偶数。
不能被 2 整除的数叫做奇数。
0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数,如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数） ，100 以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、
23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合
数和 1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都是这个合数的因数， 叫做这个合数的质因数, 把一个合数用质因
数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
几个数公有的因数,，叫做这几个数的最大公因数。
公因数只有 1 的两个数,叫做互质数。
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如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是 1.
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1．小数的意义
把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份,， 得到的十分之几、百分之几、千分之几 ,, 可以用小数表示。
一个小数由整数部分、 小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点， 小数点左边的数叫做整数部分， 小数点右边的
数叫做小数部分.
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数部分的最高分数单位”十分之一"和整数部分的最低单位"一”
之间的进率也是 10。
2．小数的分类
有限小数:小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
无限不循环小数：一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如： π
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,： 3。555 ，，
,， 12。109109 ,,
一个循环小数的小数部分, 依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： ，， 的循环节是” 9”， ,,
的循环节是” 54”。
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（三）分数
把单位” 1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母.
把单位” 1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位.
真分数： 1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于 1。
带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数 ， 也叫做百分率或百分比。 百分数通常用“ %”来表示。 百分号是表示百分
数的符号。
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个"亿”或"万”字。
每一级末尾的 0 都不读出来，其它数位连续有几个 0 都只读一个零.
整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0.
小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作”点" ，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的
数字。
小数的写法： 写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角, 小数部分顺次写出每一个数位上的数
字。
分数的读法：读分数时，先读分母再读”分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读.
分数的写法：先写分数线，再写分母,最后写分子，按照整数的写法来写。
百分数的读法：读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
百分数的写法:百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号” ％”来表示。
（二)数的改写
近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示.
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四舍五入法： 要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小，就把尾数去掉; 如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大，就
把尾数舍去，并向它的前一位进 1。
4．大小比较
比较整数大小：比较整数的大小,位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高
位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大.
比较小数的大小：先看它们的整数部分, ，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十
分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大 ，，
比较分数的大小 ： 分母相同的分数， 分子大的分数比较大； 分子相同的数， 分母小的分数大。 分数的分母和分子都不相同的,
先通分,再比较两个数的大小。
（三）数的互化
1．小数化成分数：原来有几位小数,就在 1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2．分数化成小数：,有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3．一个最简分数,如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有 2 和
5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
4．小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
5．百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6．分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数） ，再把小数化成百分数.
7．百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1．把一个合数分解质因数,，一直除到商是质数为止,再把除数和商写成
连乘的形式。
2．求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除,一直除到所得的商只有公因数 1 为止，然后把所有
的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公因数。
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3．求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数(或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止,
然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4．成为互质关系的两个数： 1 和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质
数互质；两个合数的公因数只有 1 时，这两个合数互质。
(五）约分和通分
约分的方法:用分子和分母的公因数（ 1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三、性质和规律
（一）商不变的性质
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变.
(二)小数的性质
小数的性质:在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三)小数点位置的移动引起小数大小的变化
1．小数点向右移动一位，就扩大到原来的 10 倍；小数点向右移动两位，就扩大到原来的 100 倍；小数点向右移动三位，
就扩大到原来的 1000 倍，，
2．小数点向左移动一位,就缩小到原来的；小数点向左移动两位，就缩小到原来的;小数点向左移动三位，就缩小到原来
的,，
3．小数点向左移或者向右移位数不够时，要用” 0”补足位。
（四)分数的基本性质
分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外） ,分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1．被除数÷ 除数 =被除数 / 除数 2 ．因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零.
3．被除数相当于分子，除数相当于分母。
四、运算的意义
（一）整数四则运算
1．整数加法：
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把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数 +加数=和 加数=和－另一个加数
2．整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算.
被减数 - 减数=差 被减数 =差+减数 减数=被减数 — 差
3．整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里， 0 和任何数相乘都得 和任何数相乘都的任何数。
因数× 因数 =积 因数=积÷ 另一个因数
4．整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算.
在除法里, 0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0，所以任何一个数除以 0，均得不到一个确定的商。
被除数÷ 除数 =商 除数=被除数÷ 商 被除数 =商× 除数
(二）小数四则运算
1．小数加法：
小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算.
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2．小数减法：
,求另一个加数的运算 .
3．小数乘法：
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同， 就是求几个相同加数和的简便运算； 一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之
几、百分之几、千分之几 ,， 是多少.
4．小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
5．乘方（平方） :
33=3× 3=32
（三）分数四则运算
1．分数加法：
分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算.
2．分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.
3．分数乘法：
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4．乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。
5．分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
(四)运算定律
1．加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+a。
2．加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加,再和第一个数相加，它们的和不变，即 (a+b)
+c=a+（b+c）.
3．乘法交换律：
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变，即 a× b=b× a。
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4．乘法结合律：
三个数相乘， 先把前两个数相乘， 再乘以第三个数； 或者先把后两个数相乘, 再和第一个数相乘， 它们的积不变, 即(a× b）
× c=a× （b× c）。
5．乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即 (a+b）× c=a× c+b× c。
6．减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即 a-b—c=a- （b+c）.
(五)运算法则
1．整数加法计算法则:
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2．整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起,哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起,再减.
3．整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数， 用因数哪一位上的数去乘， 乘得的数的末尾就对齐哪一位，
然后把各次乘得的数加起来。
4．整数除法计算法则:
先从被除数的高位除起,除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在
哪一位的上面。如果哪一位上不够商 1，要补” 0”占位。每次除得的余数要小于除数。
小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就
用”0"补足。
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6．除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除， 商的小数点要和被除数的小数点对齐； 如果除到被除数的末尾仍有余数， 就在余数后面添” 0"，
再继续除。
7．除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补" 0”）,然后按照除数是整数的除法法
则进行计算.
8．同分母分数加减法计算方法 :
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9． 异分母分数加减法计算方法 :
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算.
10．带分数加减法的计算方法 ：
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11．分数乘法的计算法则 :
分数乘整数， 用分数的分子和整数相乘的积作分子, 分母不变； 分数乘分数， 用分子相乘的积作分子， 分母相乘的积作分母。
12．分数除法的计算法则 :
甲数除以乙数( 0 除外）,等于甲数乘乙数的倒数。
（六）运算顺序
1．小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2．分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3．没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法.
4．有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5．第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。
6．第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算.
五、应用
（一）整数和小数的应用
1．简单应用题
(1)简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题.
（2）解题步骤：
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a．审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考,弄明白题中每句话
的意思。也可以复述条件和问题,帮助理解题意.
b．选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，
联系四则运算的含义,分析数量关系,确定算法,进行解答并标明正确的单位名称。
c．检验:就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确,，马上改
正.
2．复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题,通常叫做复合应用题。
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题.
求比两个数的和多(少）几个数的应用题。
比较两数差与倍数关系的应用题。
（3)含有两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系)与其中一个数,求两个数的和（或差) .
已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系） 。
（4)解答连乘连除应用题.
（5）解答三步计算的应用题.
(6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正
式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。
（7）解答加法应用题：
a．求总数的应用题:已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
b．求比一个数多几的数应用题:已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
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