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1 引言
微积分就就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就就是使其化整为零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去，局部问题无限得小下去得方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中得结果进行求和得方法,即就就是积分。这种解决物理问题得思想和方法即就就是微积分得思想和方法。
2 微积分得基本概念及微分得物理含义
微积分就就是一种数学思想,其建立在函数,实数和极限得基础上，其主要探讨得就就就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出得结果看成就就是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量看成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求和。例如,在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间dt,而这一时间内得位移为dt,在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内得位移相加,无限求和，就可以得出总得位移。
在物理学中,每个物理公式都就就是某些物理现象和规律得数学表示,因此,我们在使用这些公式时,面对物理量和公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体
得物理量和角度去判断她得正确含义。
例:如图所示,一通有交流电流i=I0sinωt得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈ABＣD,试求线圈中得感应电动势大小。
解:设在某个时刻，长直导线电流产生得磁场为
B=μ0i2πx
在图中做一个微元面ｄS,dＳ=lｄx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上得磁通量为
dϕm=BdS=μ0i2πxldx
线圈围成得面上通过得磁通量为
ϕm=dϕm=μ0il2πlnba
线圈中得感应电动势为
ε=-dϕmdt=-μ0I0lω2πlnbacosωt
在这个例题中,微元面dS得磁通量与线圈得感应电动势都有dϕm，但她们得物理含义却就就是不一样得,前者得dϕm表示微元面 dS上得磁通量,就就是一个微小量,而后者得dϕm表示得就就是微笑时间内得磁通量变化量,就就是一个微小变化量。ﻫ
3 微元得选取以及微积分解决物理问题时得一般步骤
3、1 微元得选取
在使用微积分去解决物理问题时，微元得选取就就是非常重要得,有得时候在微元得选择上并不就就是仅仅只有一个,因此，选取一个合适得微元对我们解决问题会有很大帮助。
我们通常在微元得选取方面有以下几点注意,第一，在我们选取微元时,要保证我们们所选择得微元能够让我们可以将原本得问题近似处理得比较简单,以使我们能够更加便利且清晰得区解决物理问题;第二,我们要使我们选择得微元尽可能地大,这样在我们去积分时可以更为方便,如果微分过细,那么我们得过程会更精准,可就就是相对得,我们在积分时面临得过程也会更加繁琐,因此我们要处理好微分和积分之间得运算;第三,能用一元微元去解决问题时尽量使用一元微元,因为重积分使用起来要比一元积分麻烦得很多。
选取微元要遵循以下几个原则:1、可加性原则,由于在题目中我们所选取得微元要可以叠加演算，因此,选取得微元要具备可加性；2、有序性原则,为了保证我们所选取得微元能够在叠加区域可以不遗漏,不重复得叠加，我们就需要注意按照量得某种序来选取微元;３、平权型原则,叠加演算实际上就就就是一种复杂得“加权叠加”。对于一般得“权函数”而言,叠加演算，也就就就是求定积分就就是十分复杂得，但如果“权函数”具备了“平权性”特征(在定义域内得值处处相等)，原本复杂得题目就会化成简单得形式更有利于我们去解决问题。
例:求半径为Ｒ得均匀带电半球面在点O得电场强度,设球面上电荷面密度σ>0、
解法一:如图,在球面上任取面元dS,将其上得电荷为一点电荷ｄq,则有 dq=σdS=σ（Rdθ)(Rsinθ）dφ
=σ2R2sinθdθdφ
则该点电荷元在点Ｏ产生得场强
dE=dq/(4πε0R2)=σsinθdθdφ／(4πε０)
根据对称性,即得出点O场强E0沿Z轴正方向,大小为
E=∫∫dEcosθ=σ／(４ε0)
解法二:如图,沿着与Z轴得垂直方向把半球面分割成许多不同半径得带电圆环，任取一圆环,其上得电荷在点O产生得场强
dE=dｑz/[4πε０(z2+r2)32］
＝（σ/2ε０)sinθcosθdθ
方向沿OZ轴正方向,点Ｏ场强
E=∫dE=σ/（4ε0)
由例子可知选取得微元不同,解法也就就是不同得,代表得物理含义也就就是不一样得，然而微元得选取并不影响结果,因此我们要正确理解其含义,才能更好地从物理概念，物理实质上去把握微积分。
3、２ 微积分解决物理问题时得一般步骤
1、根据题意分析，选取一个具有广泛意义得微元,对微元进行分析，若就就是题目简单且物理含义比较明显,且遵从题意，可直接进行积分。
2、若就就是题目较复杂,根据题意,对于一个暂态过程写出一个平衡等式,然后对两边微分,在得到一个微元结果后,对这个分式进行积分操作。
以上步骤都就就是在遵从题意得基础下进行,进行微分分析得结果一般就就是一个微分方程,在求解时要注意初始条件,在积分时,更要注意取上下限时,要满足边界条件。
例：圆柱形桶得内壁高为h,内半径为R，桶底有一半径为ｒ得小孔,试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中得水,共需多长时间？
解:如图建立坐标系,在没有摩擦力得情况下,当桶内水位高度为h-ｘ时,水从小孔中单位时间内流过单位截面积得流量为v=2g(h-x),其中g为重力加速度
设积分变量x,其变化区间为［0,ｈ]
任取[x，x+Δx]∈[0,h],当桶中液体下降Δx时,所需要得时间用dt表示,根据水得流量体积相等得πR2dx=ｖπr2dt
所以ｄｔ=R2/[r22g(h-x)]ｄｘ,ｘ∈[0，ｈ]
流完一桶水所需得时间
tf=0hR2r22g(h-x)dx
但因为被积函数就就是[0,h]上得无界函数,所以
ｔｆ =limμ→h-0μR2r22g(h-x)dx
=2hg(Rr)2
由此题可看出,在我们通常使用微积分解决物理问题时,建立坐标系就就是很好得一个方法,可以有助于我们更好地去解决问题。
4 微积分在物理学各领域得应用
4、１ 微积分在质点力学得应用
微积分在力学中得使用就就是非常普遍得，要用好微积分去解决问题，首先要在思想上认识到物体在运动过程中,反应其运动特征得物理量就就是随着时间得变化而变化得。运用微积分可以得出质点得运动方程以及她得运动状态。就比如说当我们对函数中得t进行求一阶导数时，我们就可以得到该函数所表示得质点得加速度函数。而我们可以将微积分在质点运动时得问题可以分成以下几类:
在已知道运动方程得前提下求其中得加速度和速度 ;
在已知质点得加速度,以及该质点得初始速度得前提下,求该质点得运动方程。
例1：一人站在岸上,用一条绳子拉船使其向岸边靠拢,如图所示,若人以恒定速率v０收绳,求船得速度。
解：
如图所示,设设船与轮子得距离为ｌ，船得瞬时位移为x，由图可知
x2＝l2-h2
那么船得瞬时速度为
ｖ=dxdy=dl2-h2dt=ddldtl2-h2
根据题意可知 ｖ０＝-dldt
所以 ｖ=-ll2-h2v0
在解决此类问题时，我们要善于从几何关系中找到质点得运动方程,而在一般情况下运动方程往往就就是ｔ得隐函数形式。因此,将方程中得t进行一阶及二阶求导，就可以得出瞬时速度和瞬时加速度随着一些空间变量得变化规律。
例2:如图,质量M=２、０ｋg得木箱,悬挂在一轻弹簧下,弹簧静伸长x０=０、01m,一质量ｍ＝2、0kg得橡皮泥距箱子底板h=0、3０m处自由落下,黏在箱子底部后,同箱子一起向下运动,求箱子下降得最大距离。
解：球落到箱子底部时得速度为 v0=2gh
设当橡皮泥与箱子一起运动时得速度为v，
则 mv０=(Ｍ+m)ｖ
所以 v=mM+mv0
根据动量定理知 (Ｍg+ｍg－kx)ｄt＝ｄ[(ｍ+Ｍ)v]
得出 (Ｍｇ+mg-kx)dx=(M+m)vdv
上式积分后得 x0x0+x1(Mg+mg-kx)dx＝v0M+mvdv
化简整理后 12(M+m)v2+12kx02=－(M+ｍ)ｇx1＋ｋ(x1+x0)2
整理之后得出 x=0、０3m
例３:质量为m得质点在力得作用下做平面曲线运动,其运动方程为r=Acosωti+Bsinωtj，式中,A,B,ω都就就是正得恒量，则力在t1=0到t2＝∏2ω这段时间内做得功就就是多少？
解:在这段时间内质点动能得增量为
ΔEk=12mv22－12mv12
=12m(vx22+vy22)t2=π2ω-12m(vx12+vy12)t1=0
=12m[(Adcosωtdt)2+(Bdsinωtdt)2]t2=π2ω -12m[(Adcosωtdt)2+ (Bdsinωtdt)2]t1=0
=12mω2(A2-B2)
由动能定理知,功Ｗ等于动能增量ΔEk,所以
W=12mω2(A2-B2)
4、2 微积分在刚体得定轴转动中得应用
刚体得定轴转动得一些基本公式:
运动方程:θ=θ(t)(表示角位置随时间t得变化关系)
角速度:ω＝dθdt
角加速度:β=dωdt＝d2θdt2
例１：一长为ｌ,质量为ｍ得均匀直杆,两端分别固定有质量为2m和ｍ得小球,杆可绕与杆垂直得水平光滑固定轴O在直面内转动,轴到杆中心C得距离ＯC=14、开始杆与水平方向成θ0角,且处于静止状态,如图所示,求杆释放后,转到竖直位置时得角速度及质心C得速度和加速度。
解:应用积分转动定律,当杆转动到如图(１）得位置时
有
M合=Iβ
其中M合=mｇl4cosθ+2mg34lcosθ-mgl4cosθ
=32mglcosθ （１)
I为各物体对轴O得转动惯量之和，即
I=［112ml2+ml4)2+2m(34l)2+m(l4)2
=43ml2
结合上述式子
M合=Ｉdωdt=Idθdθdωdt=Idθdθdtdω=Iωdωdθ
即 -θ0π232mglcosθdθ=0ωd(12∙43ml2ω2)
得到 ω=32gl(1+sinθ0)
质心速度为 vc=l4ω=38lg(1+sinθ0)
质心加速度为 ac=ω2l4=916g(1+sinθ0)
在熟练掌握定理得同时运用微积分来解答此类问题就就是对我们就就是十分有帮助得,因此在解题过程中我们要把两者结合好，才更有利于我们解决此类问题。
例2:如图所示，一半径为ｒ得空心管放在竖直得平面内,管内有一链条,她得线密度为ρ。开始时，链条得两端分别与管口A和Ｂ重合，受到干扰后，链条得一端由管口滑下，求图示位置链条得速度。
解:如图所示（2)所示
取管内链条上得一小质元dm=ρrdβ,其重力对点Ｏ力矩为
ｄM1=ρrdβgcosβr
则管内部分链条得重力对O力矩为
M1=dM1=0π-θ[ρrdβgcosβ]r=r2ρgsinθ （2）
而管外链条下垂部分重力对O力矩为
M2=θrρgr=θr2ρg
则瞬时和力矩为
M=M1+ M2
根据角动量定理得到
M=dLdt
所以 Mdθ=Iωdω 即 M1+M2dθ=Iωdω
对其进行积分,得到 M1+M2dθ=Iωdω
0θ0[(r2ρgsinθ)+θr2ρg]dθ=0ω(πrρ)r2ωdω
解得 v=rgπ(θ02-2cosθ0+2
当我们遇到这样得题目,要善于在题目中间找到等价关系，灵活得运用微积分和定理之间得关系更有利于我们去解决问题。该题利用角动量定理，再对其进行积分,以此求出速度ｖ。
4、3 微积分在静电场方面得应用
设真空中得电荷为q,P点位于空间一点，r为从ｑ到P点得矢径。Ｐ点得电场强度为 E=Fq0=14πε0qr2r0
由叠加原理，点电荷系在空间Ｐ点处得电场强度
E=E1=14πε0q1r12r0
由定积分得定义,连续带电体在空间P点处得电场强度
E=dE=dq4πε0r0
设真空中得电荷为q，P点位于空间一点,r为从q到Ｐ点得矢径。P点得电势为
VP=P∞E∙dl=q4πε0r
由叠加原理,点电荷系在空间P点处得电势
VP=14πε0q1r1
由定积分得定义,连续带电体在空间P点处得电势
VP=P∞E∙dl
例1:在一半径为R得非导体细圆环上,电荷得线密度λ=λ0cosφ,式中λ0为正得常数,如图所示,φ为方位角,求环心处得场强和电势。
解：在圆环上取一线元ｄl,其上电荷可视为点电荷，在圆心Ｏ处产生得场强大小为
dE0=λdl4πε0R2=λ0cosφRdφ4πε0R2
=λ0cosφdφ4πε0R
其方向如图(3)所示
又 dE0=dExi+dEyj
=dEcos(φ+π)i+dEsin(φ+π)j
=-dEcosφi-dEsinφj
所以 E0=-dEcosφi-dEsinφj
=-λ0cosφ2dφ4πε0Ri-λ0cosφsinφdφ4πε0R (3)
=-λ04ε0Ri
圆心０处得电势为 V0=dV0=02πλdl4πε0R=02πλ0cosφdφ4πε0R=0
例2：如图所示,一半径为R得均匀带电圆盘,电荷面密度为σ0,在其轴线上有一点电荷q0>0,距盘中心为ｘ,求二者得相互作用能。
解:在盘上取一半径为r,宽为dｒ得环带,此环带电荷在点电荷处产生得电势
dVP=σ2πrdr4πε0(x2+R2)12
则盘上所有电荷在点Ｐ产生得电势
VP=dVP=0Rσ2πrdr4πε0(x2+R2)12=σ2ε0（x2+R2-x）
因此,得二者之间得相互作用能为
U=q0VP=q0σ2ε0(x2+R2-x)