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留意事项：
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必需使用 2B 铅笔填涂；非选择题必需使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请依据题号挨次在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
万人 数据
一、选择题〔本大题共 12 个小题，每题 4 分，共 48 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕 1．据浙江省统计局公布的数据显示，2025 年末，全省常住人口为 5657 . “5657 万”用科学记数法表示为( )
A． 5657 ´104 B． ´106 C． ´107 D． ´108
ìx > 1
î
不等式组í2x - 4 £ 0 的解集在数轴上可表示为〔 〕
A． B． C． D．
3．2025 年，我国将加大精准扶贫力度，今年再削减农村贫困人口1000 万以上，完成异地扶贫搬迁 280 万人．其中数据 280 万用科学计数法表示为( )
A．×105 B．×106 C．28×105 D．×107
如图，网格中的每个小正方形的边长是 1，点 M，N，O 均为格点，点 N 在⊙O 上，假设过点 M 作⊙O 的一条切线MK，切点为 K，则 MK＝〔 〕
A．3 2 B．2 5 C．5 D． 34
如图 1，等边△ ABC 的边长为 3，分别以顶点 B、A、C 为圆心，BA 长为 半径作弧 AC、弧 CB、弧 BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，明显莱洛三角形仍旧是轴对称图形．设点I 为对称轴的交点，如图 2，将这个图形的顶点 A 与等边△ DEF 的顶点 D 重合，且 AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△ DEF 的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是〔 〕
45
A．18π B．27π C． 2 π
D．45π
小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他遗忘了密码的末位数字，则小军能一次翻开该旅行箱的概率是〔 〕
1 1 1 1
A． 10 B． 9 C． 6 D． 5
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，∠CDB=30°，⊙O 的半径为 3 ，则弦 CD 的长为〔 〕
3
2 cm
3cm C． 2 3cm D．9cm
《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十
．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，假设乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为
2
50；而甲把其 3 的钱给乙，则乙的钱数也能为 50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，则列方程
组为〔 〕
ì 1 ì 1
ïx + 2
y = 50
ï y + 2
y = 50
í 2
î
ï y + 3
ì 1
x = 50
í
î
ïx +
ì
2
3 x = 50
1
ïx - 2
í 2
y = 50
ï y - 2
í 2
y = 50
ï y - x = 50 ïx - x = 50
îï 3 îï 3
在某校“我的中国梦”演讲竞赛中，有 9 名学生参与决赛， 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的( )
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 10．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参与诗词大会竞赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是 分，方差分别是 S
2＝，S 2＝，S 2＝，S 2＝，你认为派谁去参赛更适宜〔 〕
甲 乙 丙 丁
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
如图，以下图形都是由面积为 1 的正方形按肯定的规律组成，其中，第〔1〕个图形中面积为 1 的正方形有 2 个， 第〔2〕个图形中面积为 1 的正方形有 5 个，第〔3〕个图形中面积为 1 的正方形有 9 个，…，按此规律．则第〔6〕个图形中面积为 1 的正方形的个数为〔 〕
A．20 B．27 C．35 D．40
如图，点A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上，假设△ COD 是由△ AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为〔 〕
A．30°
C．90°
B．45°
D．135°
二、填空题：〔本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分．〕 13．圆锥的底面圆半径为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是 cm2.
点 A 到⊙O 的最小距离为 1，最大距离为 3，则⊙O 的半径长为 ．
被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中载：“今有五雀、六燕，
”
. . .
集称之衡，雀俱重，燕俱轻 一雀一燕交而处，衡适平 并燕、雀重一斤 问燕、雀一枚各重几何？
“ 5 6
.
设每只雀重
斤，每只燕重
斤，可列方程组为
译文： 今有 只雀、 只燕，分别聚拢而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻 将一只雀、一只燕交换位置而放，
只雀、 只燕重量为
斤
问雀、燕毎只各重多少斤？
6 1 .
” x y ．
假设抛物线 y=ax2+5 的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ．
一个等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则它的周长为 cm．
2
假设代数式
x -1
-1的值为零，则 x= ．
三、解答题：〔本大题共 9 个小题，共 78 分，解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．〔6 分〕如图，在平行四边形ABCD 中，E 为 BC 边上一点，连结 AE、BD 且 AE=AB．
求证：∠ABE=∠EAD；假设∠AEB=2∠ADB，求证：四边形 ABCD 是菱形．
20．〔6 分〕：如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 是⊙O 直径 AB 异侧的两点，AC=DC，过点C 与⊙O 相切的直线 CF 交弦 DB 的延长线于点E．
〔1〕试推断直线 DE 与 CF 的位置关系，并说明理由；
〔2〕假设∠A=30°，AB=4，求CD 的长．
21．〔6 分〕如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为便利进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m2？
22．〔8 分〕如图，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝10°，△ CDE 是等边三角形，点 D 在边 AB 上．
如图 1，当点 E 在边 BC 上时，求证 DE＝EB；
如图 2，当点 E 在△ ABC 内部时，猜测 ED 和EB 数量关系，并加以证明；
〔1〕如图 1，当点 E 在△ ABC 外部时，EH⊥AB 于点 H，过点 E 作 GE∥AB，交线段 AC 的延长线于点 G，AG＝5CG， BH＝1．求 CG 的长．
23．〔8 分〕如图，在6´5 的矩形方格纸中，每个小正方形的边长均为1 ，线段 AB 的两个端点均在小正方形的顶点上.
在图中画出以线段 AB 为底边的等腰DCAB ，其面积为5 ，点C 在小正方形的顶点上；
在图中面出以线段 AB 为一边的 ABDE ，其面积为16 ，点D 和点 E 均在小正方形的顶点上；连接CE ，并直接写出线段CE 的长.
24．〔10 分〕如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=直线 y=2 与 y 轴交于点 C．
m 1
x 〔x＞0〕的图象交于A〔2，﹣1〕，B〔 2 ，n〕两点，
求一次函数与反比例函数的解析式；
求△ABC 的面积.
25．〔10 分〕抛物线 y＝ax2+〔3b+1〕x+b﹣3〔a＞0〕，假设存在实数 m，使得点 P〔m，m〕在该抛物线上，我们称点 P〔m，m〕是这个抛物线上的一个“和谐点”．
当 a＝2，b＝1 时，求该抛物线的“和谐点”；
假设对于任意实数 b，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A、B．
①求实数 a 的取值范围；
1
②假设点 A，B 关于直线 y＝﹣x﹣〔 a2 +1〕对称，求实数 b 的最小值．
26．〔12 分〕风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成〔如图 1〕，图 2 是从图 1 引出的平面图．假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55°，沿 HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处觉察正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 D〔D、C、H 在同始终线上〕的仰角是 45°．叶片的长度为 35 米〔塔杆与叶片连接处的长度无视不计〕，山高BG 为 10 米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆 CH 的高．〔参考数据：tan55°≈，tan35°≈，sin55°≈，sin35°≈〕
27．〔12 分〕我们知道，平面内相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，假设两条数轴不垂直，而是相交成任意的角 ω〔0°＜ω＜180°且 ω≠90°〕，那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为 斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线 PM 和 PN，分别交 x 轴和 y 轴于点M，N．点 M、N 在 x 轴和 y 轴上所对应的数分别叫做 P 点的 x 坐标和 y 坐标，有序实数对〔x，y〕称为点 P 的斜坐标，记为 P〔x，y〕．
如图 2，ω＝45°，矩形 OAB C 中的一边 OA 在 x 轴上，BC 与 y 轴交于点 D，OA＝2，OC＝l．
①点 A、B、C 在此斜坐标系内的坐标分别为 A ，B ，C ．
②设点 P〔x，y〕在经过 O、B 两点的直线上，则 y 与 x 之间满足的关系为 ．
③设点 Q〔x，y〕在经过 A、D 两点的直线上，则 y 与 x 之间满足的关系为 ．
假设 ω＝120°，O 为坐标原点．
①如图 3，圆 M 与 y 轴相切原点 O，被 x 轴截得的弦长 OA＝4 3 ，求圆 M 的半径及圆心 M 的斜坐标．
②如图 4，圆 M 的圆心斜坐标为 M〔2，2〕，假设圆上恰有两个点到 y 轴的距离为 1，则圆 M 的半径 r 的取值范围是 ．
参考答案
一、选择题〔本大题共 12 个小题，每题 4 分，共 48 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕 1、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a ´10n 的形式，其中1 £ a < 10，n
.
为整数 确定
n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移
动了多少位，n
.
确实定值与小数点移动的位数一样
当原数确定值
1 时，n 是正数；当原数确实定值< 1 时，n 是负数．
【详解】
解：5657 ´107 ， 应选：C．
【点睛】
此题考察科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为
. a ´10n 的形式，其中1 £ a < 10，n 为整数，表示时关键要
正确确定 a 的值以及 n 的值． 2、A
【解析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
【详解】
ì x > 1①
î
解： í2x - 4 £ 0②
∵不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为 1＜x≤2，
在数轴上表示为： ，
应选 A.
【点睛】
此题考察了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能依据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.
3、B
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a ´ 10 n 的形式，其中1 £ a < 10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 确实定值与小数点移动的位数一样．当原数确定值>1 时， n 是正数；当原数确实定值<1 时， n 是负数．
详解：280 ´106， 应选 B.
点睛：考察科学记数法，把握确定值大于 1 的数的表示方法是解题的关键.
4、B
【解析】
以 OM 为直径作圆交⊙O 于 K，利用圆周角定理得到∠MKO＝90°．从而得到 KM⊥OK，进而利用勾股定理求解．
【详解】 如下图：
MK＝ 22 + 42 = 2 5 .
应选：B．
【点睛】
考察了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．假设消灭圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
5、B
【解析】
先推断出莱洛三角形等边△ DEF 绕一周扫过的面积如下图，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.
【详解】 如图 1 中，
∵等边△ DEF 的边长为 2π，等边△ ABC 的边长为 3，
矩形
∴S AGHF=2π×3=6π，
由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，
∴∠BAG=120°，
120p × 32
扇形
∴S BAG=
360
=3π，
矩形 扇形
∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为 3〔S AGHF+S BAG〕=3〔6π+3π〕=27π； 应选 B．
【点睛】
此题考察轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是推断出莱洛三角形绕等边△ DEF
扫过的图形．
6、A
【解析】
∵密码的末位数字共有 10 种可能〔0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0 都有可能〕，
1
∴当他遗忘了末位数字时，要一次能翻开的概率是10 .
应选 A.
7、B
【解析】
解：∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，
又∵OC= 3 ，CD⊥AB 于点E，
∴ sin 60° =
3 CE
=
，
2 3
3
解得 CE= 2 cm，CD=3cm．
应选 B．
考点：1．垂径定理；2．圆周角定理；3．特别角的三角函数值． 8、A
【解析】
2
设甲的钱数为 x，人数为y，依据“假设乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其 3 的钱给乙，则乙的钱数也能
为 50”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为y，
ìx + 1
ï 2
y = 50
依题意，得： í 2 ．
ï y + x = 50
îï 3
应选 A．
【点睛】
此题考察了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9、D
【解析】
依据中位数是一组数据从小到大〔或从大到小〕重排列后，最中间的那个数〔最中间两个数的平均数〕的意义，9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有 9 个人，且他们的分数互不一样，第5 的成绩是中位数，要推断是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少.
故此题选：D.
【点睛】
此题考察了统计量的选择，娴熟把握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键. 10、A
【解析】
依据方差的概念进展解答即可.
【详解】
由题意可知甲的方差最小，则应中选择甲. 故答案为 A.
【点睛】
此题考察了方差，解题的关键是把握方差的定义进展解题. 11、B
【解析】
试题解析：第〔1〕个图形中面积为 1 的正方形有 2 个， 第〔2〕个图形中面积为 1 的图象有 2+3=5 个，
第〔3〕个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4=9 个，
…，
按此规律，
第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+…+〔n+1〕=
n(n 3)
个，
2
则第〔6〕个图形中面积为 1 的正方形的个数为 2+3+4+5+6+7=27 个． 应选 B．
考点：规律型：图形变化类. 12、C
【解析】
依据勾股定理求解.
【详解】