文档介绍：毕业论文
题目:函数类的性质
学院: 数学科学学院
专业:数学与应用数学
届别: 2008届
学号: 0821111009
姓名: 胡孔勇
指导老师: 韩雪、
华侨大学教务处印制
2012年5月
目录:
摘要 2
Abstract 3
引言: 4
主要结论及证明 5
5
6
7
8
9
10
11
12
致谢语: 13
参考书目 13
摘要本文对保向单叶调和函数类中的一类子族的性质进行研究,由已知类似函数类的性质推导这类函数族的单叶性,保向性,摸偏差估计,拟共形性质,邻域的相关性质,以及其他性质,并得到一些合理的结论。
关键词:调和函数, 函数类, 单叶性, 模偏差, 拟共形, 邻域
Abstract In this paper, we will do some research about a function-class ,which is one subclass of .And stands for the functions which are harmonic univalent and sense preserving in the unit disk .We derivate some properties about the functions in from some conclusion we have known, such as univalent and sense preserving, absolute value deviation, , —neighborhood, and so on. From this certificate process, we obtain some reasonable results.
Keywords harmonic function, subclass, sense preserving
absolute value deviation, —neighborhood
引言:
设为定义在区域上具有二阶连续偏导数的函数,如
,
则为上的调和函数。令为单位圆盘,为定义在上的单区域叶保向调和函数,由区域的单连通性我们知道存在和为上的解析函数,使得,又因为单叶保向,故由定理知的恒正(即),若进一步存在常数,使得,则称为上的调和-拟共形映照。
设为定义在单位圆盘上的调和函数,其中
,………………………………(1)
为上的解析函数,令,则定义
为上的一类调和函数。
主要结论及证明
结论:若定义在上的调和函数,则是单叶保向调和函数。
证明:①.单叶性
按照定义,对,且,则有:
即对,,故是单叶的。
②.保向性:
对,有:
故是保向的。
2. 模偏差估计
结论:若,令,则有
,且
证明:设是上的调和函数,且,则
另一方面:
结论:设,则为拟共形映照。
证明:设,由(1)式得
再由,得
,
则有
故,为拟共形映照。
结论:设,则当时,为双向函数,即有
证明:设,则
故可知
且
则对,有
另一方面,有:
结论:函数类在凸组合下是封闭的。
证明:设,其中
则有
由,,可知
取,,则有: