附录Ⅰ 截面的几何性质.doc

文档介绍：附录Ⅰ截面的几何性质
§I−1 截面的静矩和形心位置
dA
C
z
y
y
yC
zC
O
图I−1
z
如图I−1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分
(I−1)
分别定义为该截面对于z轴和y轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得
利用公式(I−1),上式可写成
(I−2)
或
(I−3)
(I−4)
如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即:
(I−5)
式中Ai、yci和zci分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标,n为简单图形的个数。
将式(I−5)代入式(I−4),得到组合图形形心坐标的计算公式为
(I−6)
yC


yⅡ
yⅠⅠ


O
y
z
Ⅰ
Ⅱ
CⅠⅠ
CⅡ
C
例题I−1图
例题I−1 图a所示为对称T型截面,求该截面的形心位置。
解:建立直角坐标系zOy,其中y为截面的对称轴。因图形相对于y轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此zC=0,只需计算yC值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则
AⅠ=,AⅡ=
yⅠ=,yⅡ=
§I−2 惯性矩、惯性积和极惯性矩
dA
ρ
y
y
O
图I−2
z
z
如图I−2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积dA,dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z,到坐标原点的距离为ρ。现定义y2dA和z2dA为微面积dA对z轴和y轴的惯性矩,ρ2dA为微面积dA对坐标原点的极惯性矩,而以下三个积分
(I−7)
分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。
由图(I−2)可见,,所以有
(I−8)
即任意截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。
另外,微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积dA对y、z轴的惯性积,而积分
(
I−9)
定义为该截面对于y、z轴的惯性积。
从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性矩的数值恒为正值,而惯性积则可能为正,可能为负,也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是m4或mm4。
z
dA
C
z1
y1
y1
a
b
O
图I−3
z1
y
z
y
§I−3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式
一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式
图I−3所示为一任意截面,z、y为通过截面形心的一对正交轴,z1、y1为与z、y平行的坐标轴,截面形心C在坐标系z1O y1中的坐标为(b,a),已知截面对z、y轴惯性矩和惯性积为Iz、Iy、Iyz,下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积Iz1、Iy1、Iy1z1。
(I−10)
同理可得
(I−11)
式(I−10)、(I−11)称为惯性矩的平行移轴公式。
下面求截面对y1、z1轴的惯性积。根据定义


由于z、y轴是截面的形心轴,所以Sz=Sy=0,即
(I−12)
式(I−12)称为惯性积的平行移轴公式。
二、惯性矩、惯性积的转轴公式
图(I−4)所示为一任意截面,z、y为过任一点O的一对正交轴,截面对z、y轴惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz已知。现将z、y轴绕O点旋转α角(以逆时针方向为正)得到另一对正交轴z1、y1轴,下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积、、。
y1
y
z1
z
α
α
α
dA
z1
z
y
y1
O
图I−4
(I−13)
同理可得
(I−14)
(I−15)
式(I−13)、(I−14)称为惯性矩的转轴公式,式(I−15)称为惯性积的转轴公式。
§I−4 形心主轴和形心主惯性矩
一、主惯性轴、主惯性矩
由式(I−15)可以发现,当α=0o,即两坐标轴互相重合时,;当α=90o时,,因此必定有这样的一对坐标轴,使截面对它的惯性积为零。通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯性轴,简称主轴,截面对主轴的惯性矩叫做主惯性矩。
假设将z、y轴绕O点旋转α0角得到主轴z0、y0,由主轴的定义
从而得
(I−16)
上式就是确定主轴的公式,式中负号放在分子上,为的是和下面两式相符。这样确定的α0角就使得等于。
由式(I−16)及三角公式可得
将此二式代入到式(I−13)、(I−14)便可得到截面对主轴z0、y0的主惯性矩
(I−17)
二、形心主轴、形心主惯性矩
通过截面上的